Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado abaixo do paraboloide
e acima do plano
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido sob o paraboloide
e acima do plano
, usando coordenadas polares. O conteúdo é cálculo de volume por dupla integral em coordenadas polares, e vamos precisar da mudança
,
e do jacobiano
.
Passo 2
Em coordenadas polares, substituímos
,
e
. A condição
vira
, ou seja
, logo
e
.
Montamos a integral do volume como
Montamos a integral do volume como
Passo 3
Primeiro calculamos a integral em
:
Passo 4
Em seguida, integramos em
, multiplicando o resultado radial por
:
.
Resposta
81\pi