Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado abaixo do paraboloide z=18-2 x^2-2 y^2 e acima do plano xy.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido sob o paraboloide z = 18 - 2x^2 - 2y^2 e acima do plano z=0, usando coordenadas polares. O conteúdo é cálculo de volume por dupla integral em coordenadas polares, e vamos precisar da mudança x = rcostheta, y = rsintheta e do jacobiano dA = r,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas polares, substituímos x = rcostheta, y = rsintheta e dA = r,dr,dtheta. A condição z>=0 vira 18 - 2r^2 >= 0, ou seja r^2 <= 9, logo 0 <= r <= 3 e 0 <= theta <= 2pi.
Montamos a integral do volume como
V = integral0^2pi integral0^3 (18 - 2r^2),r,dr,dtheta

Passo 3

Primeiro calculamos a integral em r:
integral0^3 (18r - 2r^3),dr = [9r^2 - tfrac12 r^4]0^3 = 81 - 40.5 = 40.5

Passo 4

Em seguida, integramos em theta, multiplicando o resultado radial por 2pi: 40.5 times 2pi.

Resposta

81\pi

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