integral cos ^6(x) sen^3(x) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral cos^6(x) sin^3(x) dx. Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem potências de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar uma técnica de substituição que facilita a integração.

Passo 2

Observamos que temos sin^3(x) na integral. Podemos reescrever sin^3(x) como sin^2(x) cdot sin(x). Sabemos que sin^2(x) = 1 - cos^2(x), então:
sin^3(x) = sin^2(x) cdot sin(x) = (1 - cos^2(x)) cdot sin(x)

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral cos^6(x) sin^3(x) dx = integral cos^6(x) (1 - cos^2(x)) sin(x) dx

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição. Seja u = cos(x). Então, du = -sin(x) dx, ou seja, -sin(x) dx = du. Isso significa que sin(x) dx = -du.

Passo 5

Substituindo u e du na integral:
integral cos^6(x) (1 - cos^2(x)) sin(x) dx = integral u^6 (1 - u^2) (-du)

Passo 6

Vamos distribuir o u^6 dentro do parêntese:
integral u^6 (1 - u^2) (-du) = -integral (u^6 - u^8) du = -integral u^6 du + integral u^8 du

Passo 7

Agora, integramos cada termo separadamente:
-integral u^6 du = -u^77 + C integral u^8 du = u^99 + C
Combinando as integrais:
-u^77 + u^99 + C

Passo 8

Substituímos u = cos(x) de volta na expressão:
-cos^7(x)7 + cos^9(x)9 + C

Resposta

A integral integral cos^6(x) sin^3(x) dx é igual a:
-cos^7(x)7 + cos^9(x)9 + C

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