Calcule a área da região compreendida entre os gráficos de
e
, e as retas
e
. (Dica. Quando for encontrar os pontos nos quais as funções são iguais, use que
para todo
.)
Passo 1
O exercício pede a área da região limitada pelas curvas f(x)=x e^{x} e g(x)=x^{2} entre x=â\\x88\\x921 e x=1, então vamos usar integrais definidas para somar a diferença entre as funções onde uma estiver sobre a outra.
Passo 2
Primeiro achamos os pontos de interseção resolvendo x e{x}=x{2}. Isso dá x=0 ou e^{x}=x para x\neq0. No intervalo [â\\x88\\\x921,1] e^{x}>0 e x\le1, logo a única solução é x=0.
Passo 3
Para determinar quem fica em cima em cada porção, avaliamos em x=â\\x88\\\x921: f(â\\x88\\\x921)=â\\x88\\\x92e^{â\\x88\\\x921}<1=g(â\\x88\\\x921), e em x=1: f(1)=e>1=g(1). Assim, em [â\\x88\\\x921,0] temos g(x)\ge f(x) e em [0,1] temos f(x)\ge g(x).
Passo 4
Logo a área é
Passo 5
Precisamos das primitivas de g(x)=x^{2} e de f(x)=x e^{x}. Usando a regra da potência,
e por partes em
Passo 6
Agora calculamos cada parcela:
Para o trecho [â\\x88\\\x921,0],
Para o trecho [â\\x88\\\x921,0],
Passo 7
Então
Passo 8
Para o trecho [0,1],
Passo 9
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Passo 10
Somando as duas parcelas obtemos