Calcule a área da região compreendida entre os gráficos de f(x)=x e^x e g(x)=x^2, e as retas x=-1 e x=1. (Dica. Quando for encontrar os pontos nos quais as funções são iguais, use que e^x-x^1 neq 0 para todo -1 <= x <= 1.)

Passo 1

O exercício pede a área da região limitada pelas curvas f(x)=x e^{x} e g(x)=x^{2} entre x=â\\x88\\x921 e x=1, então vamos usar integrais definidas para somar a diferença entre as funções onde uma estiver sobre a outra.

Passo 2

Primeiro achamos os pontos de interseção resolvendo x e{x}=x{2}. Isso dá x=0 ou e^{x}=x para x\neq0. No intervalo [â\\x88\\\x921,1] e^{x}>0 e x\le1, logo a única solução é x=0.

Passo 3

Para determinar quem fica em cima em cada porção, avaliamos em x=â\\x88\\\x921: f(â\\x88\\\x921)=â\\x88\\\x92e^{â\\x88\\\x921}<1=g(â\\x88\\\x921), e em x=1: f(1)=e>1=g(1). Assim, em [â\\x88\\\x921,0] temos g(x)\ge f(x) e em [0,1] temos f(x)\ge g(x).

Passo 4

Logo a área é
A=integral-1^0l(g(x)-f(x)r),dx+integral0^1l(f(x)-g(x)r),dx

Passo 5

Precisamos das primitivas de g(x)=x^{2} e de f(x)=x e^{x}. Usando a regra da potência,
integral x^2,dx=x^33,
e por partes em integral x e^x,dx com u=x, dv=e^xdx, resulta
integral x e^x,dx=e^x(x-1)

Passo 6

Agora calculamos cada parcela:
Para o trecho [â\\x88\\\x921,0],
integral-1^0x^2,dx=l[x^33r]-1^0=13,
integral-1^0x e^x,dx=l[e^x(x-1)r]-1^0=(-1)-(-2e^-1)=-1+2e

Passo 7

Então
integral-1^0l(x^2-x e^xr)dx=13-l(-1+2er)=43-2e

Passo 8

Para o trecho [0,1],
integral0^1x e^x,dx=l[e^x(x-1)r]0^1=1,
integral0^1x^2,dx=l[x^33r]0^1=13,

Passo 9

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integral0^1l(x e^x-x^2r)dx=1-13=23

Passo 10

Somando as duas parcelas obtemos
A=l(43-2er)+23=2-2e

Resposta

2 - 2e

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