Considere os sistemas abaixo e sobre estes analise os seguintes aspectos:
- Forma da solução geral;
- Esboço do retrato de fase;
- Classificação do ponto crítico quanto a natureza e a estabilidade;
- Comportamento (existência ou não do limite) das componentes das soluções fundamentais quando
.
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Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear de ordem 2, obter a forma da solução geral, desenhar o retrato de fase, classificar o ponto crítico em natureza e estabilidade, e verificar o comportamento das componentes das soluções fundamentais quando
. Vamos usar autovalores e autovetores de uma matriz 2×2, conseguir a solução real em termos de funções trigonométricas e analisar estabilidade via parte real dos autovalores.
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma
, com
e
Passo 3
Calculamos o polinômio característico de
:
Passo 4
Como os autovalores são complexos conjugados com parte real negativa, o ponto é um foco estável (atraente). A solução geral em forma real fica
Passo 5
O retrato de fase é um espiral que vai convergindo para a origem (por causa de
), girando no sentido horário (já que o termo de rotação vem de
).
Passo 6
As componentes de cada solução fundamental têm fator
, então decaem exponencialmente e tendem a zero quando
.
Resposta
Solução geral:
. Retrato de fase: espiral atraente girando no sentido horário. Ponto crítico: foco estável (atraente). Componentes das soluções principais decaem como
e tendem a zero quando
.