Considere os sistemas abaixo e sobre estes analise os seguintes aspectos:
  • Forma da solução geral;
  • Esboço do retrato de fase;
  • Classificação do ponto crítico quanto a natureza e a estabilidade;
  • Comportamento (existência ou não do limite) das componentes das soluções fundamentais quando t +infty.
    © ly1^prime=y2-y12, y2^prime=-y1-y22

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear de ordem 2, obter a forma da solução geral, desenhar o retrato de fase, classificar o ponto crítico em natureza e estabilidade, e verificar o comportamento das componentes das soluções fundamentais quando tto+infty. Vamos usar autovalores e autovetores de uma matriz 2×2, conseguir a solução real em termos de funções trigonométricas e analisar estabilidade via parte real dos autovalores.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma y'=Ay, com y=(y1,y2)^T e
A=-tfrac12 & 1 -1 & -tfrac12

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I)=det-tfrac12-lambda & 1 -1 & -tfrac12-lambda=( -tfrac12-lambda)^2+1=0, cuja equação é lambda^2+lambda+5/4=0. Logo
lambda=-1pmraiz1-52=-tfrac12pm i

Passo 4

Como os autovalores são complexos conjugados com parte real negativa, o ponto é um foco estável (atraente). A solução geral em forma real fica
y(t)=e^-t/2l(C1cos t -sin t+C2sin t cos tr)

Passo 5

O retrato de fase é um espiral que vai convergindo para a origem (por causa de e^-t/2), girando no sentido horário (já que o termo de rotação vem de (y2,-y1)).

Passo 6

As componentes de cada solução fundamental têm fator e^-t/2, então decaem exponencialmente e tendem a zero quando tto+infty.

Resposta

Solução geral: y(t)=e^-t/2[C1(cos t,-sin t)^T+C2(sin t,cos t)^T]. Retrato de fase: espiral atraente girando no sentido horário. Ponto crítico: foco estável (atraente). Componentes das soluções principais decaem como e^-t/2 e tendem a zero quando tto+infty.

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