Considere a integral integral raizx^2-8 x+65 d x. Qual das substituições inversas abaixo elimina a raiz do integrando?

Passo 1

A integral é integral raizx^2-8x+65,dx. O conteúdo é integração usando substituição trigonométrica, e vamos precisar completar o quadrado dentro da raiz.

Passo 2

Para identificar a forma certa, completo o quadrado em x^2-8x+65:
x^2-8x+65 = (x-4)^2 -16 +65 = (x-4)^2 +49

Passo 3

Percebo que a raiz fica raiz(x-4)^2+49, que é do tipo raizu^2+a^2 com u=x-4 e a=7. A substituição padrão para esse caso é:
x-4 =7tantheta

Passo 4

Com essa escolha, a raiz se torna:
raiz(7tantheta)^2+7^2 = raiz49tan^2theta+49 =7sectheta
e o integrando perde a raiz, ficando em funções trigonométricas.

Passo 5

Portanto, a substituição que elimina a raiz é a inversa (ou direta) dada por

Resposta

x =4+7tantheta

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