Sabendo que
onde
é a constante arbitrária de integração, o valor de
é:
Passo 1
A questão é calcular a integral de uma função racional e expressá-la em termos de logaritmo e arctg; vamos usar decomposição em frações parciais e conhecimentos de integração de $1/(u^2+1)$.
Passo 2
Começamos escrevendo
[
\frac{4x2+11x-7}{(x-5)(x2+2x+2)} = \frac{A}{x-5} + \frac{Bx + C}{x^2 + 2x + 2}
]
[
\frac{4x2+11x-7}{(x-5)(x2+2x+2)} = \frac{A}{x-5} + \frac{Bx + C}{x^2 + 2x + 2}
]
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por \$ (x-5)(x^2+2x+2)$ e igualando coeficientes, obtemos
[
4x^2 + 11x - 7 = A(x^2+2x+2) + (Bx + C)(x-5)
] Expandindo e agrupando em potências de x: A + B deve dar o coeficiente de x^2, 2A -5C + B dar x e 2A -5C dar o termo constante. Resolvendo, achamos A = 4, B = 0, C = 3.
[
4x^2 + 11x - 7 = A(x^2+2x+2) + (Bx + C)(x-5)
] Expandindo e agrupando em potências de x: A + B deve dar o coeficiente de x^2, 2A -5C + B dar x e 2A -5C dar o termo constante. Resolvendo, achamos A = 4, B = 0, C = 3.
Passo 4
Como B = 0, a parte \$Bx+C$ vira apenas C = 3, e não teremos log de \$x^2+2x+2$. A integral se separa:
[
\int \frac{4}{x-5} dx + 3 \int \frac{dx}{x^2+2x+2}
]
[
\int \frac{4}{x-5} dx + 3 \int \frac{dx}{x^2+2x+2}
]
Passo 5
Para a segunda integral, completamos o quadrado: \$x^2+2x+2 = (x+1)^2+1$. Logo
[
3 \int \frac{dx}{(x+1)^2+1} = 3\arctg(x+1)
] e a primeira dá \$4\ln|x-5|$.
[
3 \int \frac{dx}{(x+1)^2+1} = 3\arctg(x+1)
] e a primeira dá \$4\ln|x-5|$.
Passo 6
Portanto o resultado geral é
[
4\ln|x-5| + 3\arctg(x+1) + C
]
Logo A = 4 e B = 3, então A + B = 7.
[
4\ln|x-5| + 3\arctg(x+1) + C
]
Logo A = 4 e B = 3, então A + B = 7.
Resposta
7