Calcule a área da região compreendida entre os gráficos de f(x)=x e^x e g(x)=x^4, e as retas x=-1 e x=1. (Dica. Quando for encontrar os pontos nos quais as funçōes sāo iguais, use que e^x-x^3 neq 0 para todo -1 <= x <= 1.)
square
& f(x)=x e^x e^x-x^3 neq 0 p

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelos gráficos de f(x)=x e^x e g(x)=x^4, e pelas retas x=-1 e x=1. Vamos usar o conceito de área entre curvas, que diz que se duas funções se cruzam em a e b, a área é integrala^b(função de cima - função de baixo),dxçãçã. Aqui vamos precisar ainda de integração por partes para integral x e^x,dx.

Passo 2

Para encontrar onde f(x)=g(x), resolvemos
x e^x=x^4 iff xl(e^x-x^3r)=0

Passo 3

Pela dica e^x-x^3neq0 em [-1,1], a única solução é x=0. Assim elas se encontram apenas em x=0, além das fronteiras em x=-1 e x=1.
Precisamos ver quem está acima em cada trecho:
– Para -1<= x<=0, em um ponto teste (por exemplo x=-0.5) temos g(-0.5)=0.0625 e f(-0.5)approx-0.303, logo g(x)>= f(x).
– Para 0<= x<=1, em x=0.5 temos f(0.5)approx0.824 e g(0.5)=0.0625, logo f(x)>= g(x).
Portanto a área é
integral-1^0l(x^4-x e^xr)dx+integral0^1l(x e^x-x^4r)dx

Passo 4

Calculemos cada parte. Primeiro
integral x^4dx=x^55, e por partes
integral x e^xdx= x e^x-integral e^xdx = e^x(x-1)

Passo 5

Então
integral-1^0l(x^4-x e^xr)dx = l[x^55r]-1^0 -l[e^x(x-1)r]-1^0 =l(0-l(-tfrac15r)r) -l(-1+tfrac2er) =15+1-2e =65-2e E
integral0^1l(x e^x-x^4r)dx = l[e^x(x-1)r]0^1 - l[x^55r]0^1 =l(0-(-1)r)-15 =1-15 = 45

Passo 6

Somando as duas partes obtemos
65-2e+45 = 2-2e = 2l(1-tfrac1er)

Resposta

A área da região é 2-tfrac2e, ou seja 2l(1-tfrac1er).

Exercícios relacionados