Calcule integral e^2 x sen(5 x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral e^2x,sen(5x),dx. Esse problema usa conteúdo de integração por partes repetida para gerar um sistema que será resolvido.

Passo 2

Definimos I=integral e^2xsin(5x),dx e aplicamos integração por partes escolhendo u=sin(5x) e dv=e^2x,dx. Assim du=5cos(5x),dx e v=tfrac12e^2x, o que leva a
I=12e^2xsin(5x)-52integral e^2xcos(5x),dx=12e^2xsin(5x)-52J,
onde definimos J=integral e^2xcos(5x),dx.

Passo 3

Para calcular J, aplicamos outra vez integração por partes com u=cos(5x) e dv=e^2x,dx. Então du=-5sin(5x),dx e v=tfrac12e^2x, resultando em
J=12e^2xcos(5x)+52integral e^2xsin(5x),dx=12e^2xcos(5x)+52I

Passo 4

Substituindo a expressão de J em I=tfrac12e^2xsin(5x)-tfrac52J, obtemos
I=12e^2xsin(5x)-52l(12e^2xcos(5x)+52Ir)
que se rearranja para
I+254I=12e^2xsin(5x)-54e^2xcos(5x)
Daí
I=429e^2xl(tfrac12sin(5x)-tfrac54cos(5x)r)=e^2x29l(2sin(5x)-5cos(5x)r)

Resposta

e^2x29l(2sin(5x)-5cos(5x)r)+C

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