Calcule as seguintes integrais impróprias.
a) integral-1^1 d xx^2 / 3.

Passo 1

Estamos calculando a integral imprópria integral-1^1 dxx^2/3. O conteúdo aqui é o estudo de singularidades do tipo x=0 em integrais de potência e o uso de antiderivadas para verificar convergência e obter o valor.

Passo 2

Como a função x^-2/3 diverge em x=0, dividimos a integral em duas partes: integral-1^0 x^-2/3,dx e integral0^1 x^-2/3,dx. Dessa forma avaliamos a convergência de cada lado.

Passo 3

Para calcular ambas, encontramos a antiderivada de x^-2/3. Como m=-2/3, temos
nabla: integral x^m,dx=x^m+1m+1+CLongrightarrow integral x^-2/3,dx=x^1/31/3+C=3x^1/3+C

Passo 4

Avaliação das duas integrais impróprias:
nabla: integral-1^0 x^-2/3,dx=limato0^-[3x^1/3]-1^a=limato0^-(3a^1/3-3(-1)^1/3)=0-(-3)=3,
nabla: integral0^1 x^-2/3,dx=limbto0^+[3x^1/3]b^1=3-0=3

Passo 5

Somando as duas partes, a integral converge e o valor final é a soma 3+3=6.

Resposta

6

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