Calcule a área da região compreendida entre os gráficos de y=x e y=x^2 no intervalo [0,2].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelos gráficos de y=x e y=x² no intervalo [0,2]. O assunto aqui é área entre curvas, então vamos usar integrais definidas e determinar qual função está acima da outra em cada trecho.

Passo 2

Primeiro, encontramos os pontos de interseção resolvendo x = x². Isso dá x(x−1)=0, logo as curvas se cruzam em x=0 e x=1. Precisamos ver em quais intervalos cada função é maior.

Passo 3

Dividimos [0,2] em [0,1] e [1,2]. No intervalo [0,1], temos x ≥ x², então a área parcial é
integral0^1l(x - x^2r),dx
No intervalo [1,2], x² ≥ x, e a área parcial é
integral1^2l(x^2 - xr),dx

Passo 4

Agora calculamos cada integral. Para a primeira:
integral0^1(x - x^2),dx = [x^22 - x^33]0^1 = 12 - 13 = 16
Para a segunda:
integral1^2(x^2 - x),dx = [x^33 - x^22]1^2 = l(83 - 2r) - l(13 - 12r) = 56

Passo 5

Somando as duas áreas parciais,
16 + 56 = 1
Portanto, a área total da região entre as curvas no intervalo [0,2] é 1.

Resposta

1

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