Calcule a área da região compreendida entre os gráficos de
e
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelos gráficos de y=x e y=x² no intervalo [0,2]. O assunto aqui é área entre curvas, então vamos usar integrais definidas e determinar qual função está acima da outra em cada trecho.
Passo 2
Primeiro, encontramos os pontos de interseção resolvendo x = x². Isso dá x(x−1)=0, logo as curvas se cruzam em x=0 e x=1. Precisamos ver em quais intervalos cada função é maior.
Passo 3
Dividimos [0,2] em [0,1] e [1,2]. No intervalo [0,1], temos x ≥ x², então a área parcial é
No intervalo [1,2], x² ≥ x, e a área parcial é
Passo 4
Agora calculamos cada integral. Para a primeira:
Para a segunda:
Passo 5
Somando as duas áreas parciais,
Portanto, a área total da região entre as curvas no intervalo [0,2] é 1.
Resposta
1