Escreva a integral dupla em coordenadas cartesianas para calcular a área da região dentro do círculo (x-1)^2+ y^2=4 e fora do círculo x^2+(y+1)^2=4. Monte a integral usando as coordenadas polares. Escolha uma delas e calcule a integral dupla. Por fim justifique sua escolha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de área entre dois círculos. A gente tem duas equações de círculos:
  1. (x-1)^2 + y^2 = 4 — Esse é um círculo com centro em (1, 0) e raio 2.
  2. x^2 + (y+1)^2 = 4 — Esse é um círculo com centro em (0, -1) e raio 2.
Queremos encontrar a área que está dentro do primeiro círculo e fora do segundo. Para resolver isso, vamos precisar usar integrais duplas. Primeiro, vamos montar a integral em coordenadas cartesianas, depois em coordenadas polares, escolher uma das duas para calcular e, por fim, justificar nossa escolha.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que queremos calcular. Temos dois círculos de raio 2, um centrado em (1, 0) e outro em (0, -1). A área que buscamos é a que está dentro do primeiro círculo e fora do segundo. Para isso, precisamos entender onde esses círculos se interceptam.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção resolvendo o sistema das duas equações:
(x-1)^2 + y^2 = 4 x^2 + (y+1)^2 = 4
Expandindo as duas equações:
x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4 Rightarrow x^2 - 2x + y^2 = 3
x^2 + y^2 + 2y + 1 = 4 Rightarrow x^2 + y^2 + 2y = 3
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(x^2 - 2x + y^2) - (x^2 + y^2 + 2y) = 3 - 3 Rightarrow -2x - 2y = 0 Rightarrow x + y = 0
Então, y = -x. Substituindo na primeira equação:
x^2 - 2x + (-x)^2 = 3 Rightarrow 2x^2 - 2x - 3 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
x = 2 pm raiz4 + 244 = 2 pm raiz284 = 2 pm 2raiz74 = 1 pm raiz72
Portanto, os pontos de interseção são ( 1 + raiz72, -1 - raiz72 ) e ( 1 - raiz72, -1 + raiz72 ).

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção, vamos configurar a integral dupla em coordenadas cartesianas. A ideia é integrar sobre a região onde (x-1)^2 + y^2 <= 4 e x^2 + (y+1)^2 >= 4.
Para isso, precisamos expressar y em termos de x para encontrar os limites de integração. Porém, como os círculos estão deslocados e a interseção não é simétrica, a integração em coordenadas cartesianas pode ficar complicada, exigindo dividir a região em partes e achar expressões diferentes para cada parte.

Passo 5

Vamos agora montar a integral em coordenadas polares, que muitas vezes simplificam muito esse tipo de problema, especialmente quando lidamos com círculos. Em coordenadas polares, x = rcostheta e y = rsintheta, e o elemento de área é r , dr , dtheta.
Primeiro, precisamos reescrever as equações dos círculos em coordenadas polares:
  1. Para o círculo (x-1)^2 + y^2 = 4:
(rcostheta - 1)^2 + (rsintheta)^2 = 4 r^2cos^2theta - 2rcostheta + 1 + r^2sin^2theta = 4 r^2(cos^2theta + sin^2theta) - 2rcostheta + 1 = 4 r^2 - 2rcostheta = 3 r^2 - 2rcostheta - 3 = 0
Resolvendo para r:
r = costheta pm raizcos^2theta + 3
Consideramos apenas valores positivos de r.
  1. Para o círculo x^2 + (y+1)^2 = 4:
(rcostheta)^2 + (rsintheta + 1)^2 = 4 r^2cos^2theta + r^2sin^2theta + 2rsintheta + 1 = 4 r^2(cos^2theta + sin^2theta) + 2rsintheta = 3 r^2 + 2rsintheta = 3 r^2 + 2rsintheta - 3 = 0
Resolvendo para r:
r = -sintheta pm raizsin^2theta + 3
Novamente, consideramos apenas valores positivos de r.

Passo 6

Agora, para determinar os limites de integração em coordenadas polares, precisamos identificar os ângulos theta onde os círculos se intersectam. Já sabemos que y = -x, então theta = 135^circ e theta = -45^circ (ou em radianos, 3pi4 e -pi4).
Portanto, nosso intervalo para theta vai de -pi4 a 3pi4. Dentro desse intervalo, para cada theta, o raio r varia do círculo de fora para o de dentro.

Passo 7

Montando a integral em coordenadas polares, temos:
Área = integraltheta = -pi4^3pi4 integralr = rexterno(theta)^rinterno(theta) r , dr , dtheta Á
Onde rexterno(theta) é a função de r para o círculo externo e rinterno(theta) para o interno, baseados nas equações que encontramos.

Passo 8

Vamos escolher resolver a integral em coordenadas polares porque, como estamos lidando com círculos, as equações ficam mais simples e a integração é mais direta. Isso evita ter que separar a região em múltiplas partes como seria necessário em coordenadas cartesianas.

Passo 9

Finalmente, vamos calcular a integral:
Área = integral-pi4^3pi4 integralrexterno(theta)^rinterno(theta) r , dr , dtheta Á
Integrando em relação a r:
integralrexterno^rinterno r , dr = 12 ( rinterno^2 - rexterno^2 )
E, então, integramos em relação a theta para obter a área total.

Resposta

A área da região entre os dois círculos é dada pela integral em coordenadas polares:
Área = integral-pi4^3pi4 integralrexterno(theta)^rinterno(theta) r , dr , dtheta Á
Optamos por coordenadas polares para simplificar a integração envolvendo círculos, facilitando o cálculo da área desejada.

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