Escreva a integral dupla em coordenadas cartesianas para calcular a área da região dentro do círculo
e fora do círculo
. Monte a integral usando as coordenadas polares. Escolha uma delas e calcule a integral dupla. Por fim justifique sua escolha.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de área entre dois círculos. A gente tem duas equações de círculos:
-
— Esse é um círculo com centro em e raio . -
— Esse é um círculo com centro em e raio .
Queremos encontrar a área que está dentro do primeiro círculo e fora do segundo. Para resolver isso, vamos precisar usar integrais duplas. Primeiro, vamos montar a integral em coordenadas cartesianas, depois em coordenadas polares, escolher uma das duas para calcular e, por fim, justificar nossa escolha.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que queremos calcular. Temos dois círculos de raio
, um centrado em
e outro em
. A área que buscamos é a que está dentro do primeiro círculo e fora do segundo. Para isso, precisamos entender onde esses círculos se interceptam.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção resolvendo o sistema das duas equações:
Expandindo as duas equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Então,
. Substituindo na primeira equação:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção, vamos configurar a integral dupla em coordenadas cartesianas. A ideia é integrar sobre a região onde
e
.
Para isso, precisamos expressar
em termos de
para encontrar os limites de integração. Porém, como os círculos estão deslocados e a interseção não é simétrica, a integração em coordenadas cartesianas pode ficar complicada, exigindo dividir a região em partes e achar expressões diferentes para cada parte.
Passo 5
Vamos agora montar a integral em coordenadas polares, que muitas vezes simplificam muito esse tipo de problema, especialmente quando lidamos com círculos. Em coordenadas polares,
e
, e o elemento de área é
.
Primeiro, precisamos reescrever as equações dos círculos em coordenadas polares:
- Para o círculo
:
Resolvendo para
:
Consideramos apenas valores positivos de
.
- Para o círculo
:
Resolvendo para
:
Novamente, consideramos apenas valores positivos de
.
Passo 6
Agora, para determinar os limites de integração em coordenadas polares, precisamos identificar os ângulos
onde os círculos se intersectam. Já sabemos que
, então
e
(ou em radianos,
e
).
Portanto, nosso intervalo para
vai de
a
. Dentro desse intervalo, para cada
, o raio
varia do círculo de fora para o de dentro.
Passo 7
Montando a integral em coordenadas polares, temos:
Onde
é a função de
para o círculo externo e
para o interno, baseados nas equações que encontramos.
Passo 8
Vamos escolher resolver a integral em coordenadas polares porque, como estamos lidando com círculos, as equações ficam mais simples e a integração é mais direta. Isso evita ter que separar a região em múltiplas partes como seria necessário em coordenadas cartesianas.
Passo 9
Finalmente, vamos calcular a integral:
Integrando em relação a
:
E, então, integramos em relação a
para obter a área total.
Resposta
A área da região entre os dois círculos é dada pela integral em coordenadas polares:
Optamos por coordenadas polares para simplificar a integração envolvendo círculos, facilitando o cálculo da área desejada.