Questão 1: Resolva as equações diferenciais, encontrando sua solução geral.
y^prime=x cdot sen(2 y)+x e^x-x^2 cos (2 y)-e^2 y

Passo 1

Beleza! A gente tem aqui uma equação diferencial para resolver:
y^prime = x cdot sin(2 y) + x e^x-x^2 cos (2 y) - e^2 y
Matéria envolvida: Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente as que podem ser separadas ou transformadas em forma exata.
O que vamos precisar: Vamos verificar se a equação é exata ou se pode ser tornada exata por algum fator integrante. Além disso, vamos usar técnicas de integração e talvez substituições para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar entender que tipo de equação diferencial estamos lidando. A equação está na forma:
y' = M(x, y)N(x, y)
Onde:
M(x, y) = x cdot sin(2 y) + x e^x
N(x, y) = -x^2 cos (2 y) - e^2 y
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando partial Mpartial y:
M(x, y) = x cdot sin(2 y) + x e^x
A derivada parcial de M em relação a y é:
partial Mpartial y = x cdot 2 cos(2 y) + 0 = 2x cos(2 y)
Porque a derivada de sin(2y) em relação a y é 2 cos(2y), e a segunda parte não depende de y, então sua derivada é zero.

Passo 4

Agora, calculando partial Npartial x:
N(x, y) = -x^2 cos(2 y) - e^2 y
A derivada parcial de N em relação a x é:
partial Npartial x = -2x cos(2 y) - 0 = -2x cos(2 y)
A derivada de -x^2 cos(2y) em relação a x é -2x cos(2y), e a segunda parte não depende de x, então sua derivada é zero.

Passo 5

Comparando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 2x cos(2 y)
partial Npartial x = -2x cos(2 y)
Vemos que:
partial Mpartial y = - partial Npartial x
Isso significa que a equação não é exata. Mas, talvez, possamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 6

Vamos tentar encontrar um fator integrante mu(x, y) que dependa apenas de x ou apenas de y.
Assumindo mu = mu(x), então:
mu'(x) N + mu(x) partial Npartial x = mu(x) partial Mpartial y
Usando as derivadas que calculamos:
mu'(x) (-x^2 cos(2 y) - e^2 y) + mu(x) (-2x cos(2 y)) = mu(x) (2x cos(2 y))
Simplificando:
mu'(x) (-x^2 cos(2 y) - e^2 y) = mu(x) (2x cos(2 y) + 2x cos(2 y)) = mu(x) (4x cos(2 y))
Essa equação parece complicada, então talvez seja melhor tentar outro método.

Passo 7

Vamos tentar uma substituição. Note que tanto no numerador quanto no denominador aparecem termos com sin(2y) e cos(2y). Vamos tentar substituir u = cos(2y), o que simplifica as expressões envolvendo y.
Derivando u em relação a x:
u = cos(2y) implies dudx = -2 sin(2y) cdot y'
Agora, podemos expressar y' em termos de dudx:
y' = -12 dudx sin(2y)
Vamos substituir isso na equação original.

Passo 8

Substituindo y' na equação original:
-12 dudx sin(2y) = x sin(2y) + x e^x-x^2 cos (2 y) - e^2 y
Multiplicando ambos os lados por sin(2y):
- 12 dudx = x sin^2(2y) + x sin(2y) e^x-x^2 cos (2 y) - e^2 y
Isso ainda está complicado, então vamos tentar outra abordagem.

Passo 9

Vamos reconsiderar a equação original:
y' = x sin(2 y) + x e^x-x^2 cos (2 y) - e^2 y
Podemos reescrever isso como:
(-x^2 cos(2y) - e^2y) dy = (x sin(2y) + x e^x) dx
Agora, temos a equação na forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, onde:
M(x, y) = x sin(2y) + x e^x
N(x, y) = -x^2 cos(2y) - e^2y
Vamos verificar novamente se é exata e, se não for, tentamos encontrar um fator integrante.

Passo 10

Calculamos anteriormente:
partial Mpartial y = 2x cos(2 y)
partial Npartial x = -2x cos(2 y)
Vemos que:
partial Mpartial y = - partial Npartial x
Isso sugere que a equação pode ser homogênea. Vamos verificar se pode ser separada ou se uma substituição pode ajudar.

Passo 11

Vamos tentar uma substituição homogênea v = y, o que não simplifica muito. Em vez disso, observemos que a equação pode ser rearranjada para:
y' = x (sin(2 y) + e^x)-x^2 cos(2 y) - e^2 y
Ainda assim, não é claro. Talvez seja melhor reconsiderar estratégias ou verificar se a equação pode ser simplificada de outra forma.

Passo 12

Após várias tentativas, percebemos que a equação pode ser difícil de resolver com métodos padrão. Portanto, concluo que a solução geral envolve integrais que não se simplificam facilmente e podem não ter uma expressão fechada simples.

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é complexa e não pode ser expressa de forma simples usando técnicas elementares de equações diferenciais. Portanto, a solução envolve integrais avançadas que não possuem uma forma fechada facilmente expressável.

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