Calcule a área da região entre as curvas:
\left\{\begin{array}{l}x=t^{2} \\\ y=t-\frac{t^{3}}{3}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\begin{cases} x(t)=t^{2},\\[4pt] y(t)=t-\dfrac{t^{3}}{3}, \end{cases}
e pede que eu calcule a área da região entre as curvas (ou seja, a área da região fechada descrita por essa trajetória). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva é dada por x e y em função do parâmetro t.
  • Como x(t)=t^{2}, sempre teremos x\ge 0.
  • A região procurada é a região fechada (loop) formada pelos ramos superior e inferior da curva quando ela se encontra consigo mesma.
    Não faço aqui nenhum cálculo — apenas identifiquei o que foi dado e o que é pedido.]

Passo 2

Encontrar os pontos onde a curva se cruza consigo mesma (interseções da curva com ela mesma) para localizar os limites da região fechada.
  • Se dois parâmetros diferentes t_{1} e t_{2} representam o mesmo ponto, então t_{1}^{2}=t_{2}^{2}, logo t_{2}=\pm t_{1}. Portanto colisões não-triviais ocorrem quando t_{2}=-t_{1}.
  • Para que o ponto com t e o ponto com -t coincidam, além de x(t)=x(-t) (já garantido), precisamos de y(t)=y(-t). Mas
y(-t)=-t+\dfrac{t^{3}}{3}=-\Bigl(t-\dfrac{t^{3}}{3}\Bigr)=-y(t).
Então y(t)=y(-t) só ocorre se y(t)=0.
  • Vou resolver y(t)=0:
t-\dfrac{t^{3}}{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad t\Bigl(1-\dfrac{t^{2}}{3}\Bigr)=0.
As soluções são t=0 e 1-\dfrac{t^{2}}{3}=0\Rightarrow t^{2}=3\Rightarrow t=\pm\sqrt{3}.
  • Assim os pontos de auto-interseção ocorrem em t=0 e em t=\pm\sqrt{3}. Os pontos correspondentes são:
t=0\mapsto (x,y)=(0,0),\qquad t=\pm\sqrt{3}\mapsto (x,y)=(3,0).
Conclusão: a curva passa por (3,0) duas vezes (para t=\sqrt{3} e t=-\sqrt{3}) e por (0,0) uma vez, formando um laço fechado entre t=-\sqrt{3} e t=\sqrt{3}.

Passo 3

Descrever os ramos superior e inferior da região fechada para poder montar uma integral de área no formato “topo menos fundo”.
  • Para cada x entre 0 e 3 há dois valores de t: t=+\sqrt{x} e t=-\sqrt{x}. Substituindo em y:
y\bigl(t=+\sqrt{x}\bigr)=\sqrt{x}-\dfrac{(\sqrt{x})^{3}}{3}=\sqrt{x}-\dfrac{x^{3/2}}{3},
y\bigl(t=-\sqrt{x}\bigr)=-\sqrt{x}+\dfrac{x^{3/2}}{3}=-\Bigl(\sqrt{x}-\dfrac{x^{3/2}}{3}\Bigr).
  • Então o ramo superior (topo) é
y_{\text{top}}(x)=\sqrt{x}-\dfrac{x^{3/2}}{3},
e o ramo inferior (fundo) é
y_{\text{bot}}(x)=-\sqrt{x}+\dfrac{x^{3/2}}{3}=-y_{\text{top}}(x).
  • A diferença vertical entre topo e fundo é
y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)=2\Bigl(\sqrt{x}-\dfrac{x^{3/2}}{3}\Bigr).

Passo 4

Montar a integral que calcula a área usando a fórmula "área entre curvas em função de x":
  • Se uma região é limitada por curvas topo y_{\text{top}}(x) e fundo y_{\text{bot}}(x) para x variando de a até b, então a área é
A=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.
  • No nosso caso a=0 e b=3, e já encontramos a diferença, logo
A=\int_{0}^{3}2\Bigl(\sqrt{x}-\dfrac{x^{3/2}}{3}\Bigr)\,dx.
(Expliquei a fórmula: ela soma as tiras verticais de largura dx e altura y_{\text{top}}-y_{\text{bot}}.)

Passo 5

Calcular a integral passo a passo (aplicando a regra de potência).
  • Primeiro escrevo as potências de x de forma explícita:
\sqrt{x}=x^{1/2},\qquad x^{3/2}=x^{3/2}.
  • A integral fica
A=2\int_{0}^{3}\Bigl(x^{1/2}-\dfrac{x^{3/2}}{3}\Bigr)\,dx =2\left(\int_{0}^{3}x^{1/2}\,dx-\dfrac{1}{3}\int_{0}^{3}x^{3/2}\,dx\right).
  • Uso a regra de potência para integrais: \displaystyle\int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C (válida para n\neq-1). Aplicando:
\int x^{1/2}\,dx=\dfrac{x^{3/2}}{3/2}=\dfrac{2}{3}x^{3/2},\qquad \int x^{3/2}\,dx=\dfrac{x^{5/2}}{5/2}=\dfrac{2}{5}x^{5/2}.
  • Substituindo:
A=2\left(\dfrac{2}{3}x^{3/2}-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{5}x^{5/2}\right)\Bigg|_{0}^{3} =2\left(\dfrac{2}{3}x^{3/2}-\dfrac{2}{15}x^{5/2}\right)\Bigg|_{0}^{3}.
  • Simplifico o fator 2:
A=\left(\dfrac{4}{3}x^{3/2}-\dfrac{4}{15}x^{5/2}\right)\Bigg|_{0}^{3}.
  • Agora avalio em x=3. Note que 3^{3/2}=3\sqrt{3} e 3^{5/2}=9\sqrt{3}. Então
A=\dfrac{4}{3}\cdot 3\sqrt{3}-\dfrac{4}{15}\cdot 9\sqrt{3}-\bigl(0\bigr).
  • Calculo termo a termo:
\dfrac{4}{3}\cdot 3\sqrt{3}=4\sqrt{3},\qquad \dfrac{4}{15}\cdot 9\sqrt{3}=\dfrac{36}{15}\sqrt{3}=\dfrac{12}{5}\sqrt{3}.
  • Subtraindo:
A=4\sqrt{3}-\dfrac{12}{5}\sqrt{3}=\Bigl(4-\dfrac{12}{5}\Bigr)\sqrt{3} =\dfrac{8}{5}\sqrt{3}.

Passo 6

(Pequeno comentário de checagem e intuição)
  • A área saiu positiva, como esperado. Uma checagem alternativa — menos elementar, mas curta — é usar a fórmula paramétrica da área fechada
A=\left|\int_{t_{1}}^{t_{2}}y(t)\,x'(t)\,dt\right|
com x'(t)=2t e t_{1}=-\sqrt{3},\,t_{2}=\sqrt{3}; ao calcular essa integral obtém-se o mesmo resultado \dfrac{8}{5}\sqrt{3}. Isso confirma a consistência do cálculo.

Resposta

\dfrac{8}{5}\sqrt{3}

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