e pede que eu calcule a área da região entre as curvas (ou seja, a área da região fechada descrita por essa trajetória). Informações relevantes extraídas do enunciado:
A curva é dada por x e y em função do parâmetro t.
Como x(t)=t^{2}, sempre teremos x\ge 0.
A região procurada é a região fechada (loop) formada pelos ramos superior e inferior da curva quando ela se encontra consigo mesma.
Não faço aqui nenhum cálculo — apenas identifiquei o que foi dado e o que é pedido.]
Passo 2
Encontrar os pontos onde a curva se cruza consigo mesma (interseções da curva com ela mesma) para localizar os limites da região fechada.
Se dois parâmetros diferentes t_{1} e t_{2} representam o mesmo ponto, então t_{1}^{2}=t_{2}^{2}, logo t_{2}=\pm t_{1}. Portanto colisões não-triviais ocorrem quando t_{2}=-t_{1}.
Para que o ponto com t e o ponto com -t coincidam, além de x(t)=x(-t) (já garantido), precisamos de y(t)=y(-t). Mas
Conclusão: a curva passa por (3,0) duas vezes (para t=\sqrt{3} e t=-\sqrt{3}) e por (0,0) uma vez, formando um laço fechado entre t=-\sqrt{3} e t=\sqrt{3}.
Passo 3
Descrever os ramos superior e inferior da região fechada para poder montar uma integral de área no formato “topo menos fundo”.
Para cada x entre 0 e 3 há dois valores de t: t=+\sqrt{x} e t=-\sqrt{x}. Substituindo em y:
com x'(t)=2t e t_{1}=-\sqrt{3},\,t_{2}=\sqrt{3}; ao calcular essa integral obtém-se o mesmo resultado \dfrac{8}{5}\sqrt{3}. Isso confirma a consistência do cálculo.