Calcule a área da região D , limitada pelas curvas
e
e faça um esboço da região.
Passo 1
O enunciado pede a área da região
limitada pelas curvas
,
e pelas retas verticais
e
. O conteúdo é cálculo de área por integração, para isso precisamos:
- Determinar os pontos de interseção de
e . - Identificar em cada intervalo qual curva está acima.
- Montar as integrais adequadas e calculá-las.
Passo 2
Encontramos os pontos em que
e
se cruzam, resolvendo
Logo as interseções ocorrem em
e
.
Passo 3
Para saber qual curva é superior em cada subintervalo:
- Em
, temos , então a reta fica acima da parábola . - Em
, temos , então a parábola fica acima da reta.
Passo 4
A área
de
é dada pela soma de duas integrais:
Passo 5
Calculamos cada parte:
Para a primeira integral,
Para a segunda integral,
Somando,
Passo 6
Esboço da região
em coordenadas:
y
↑
4 |
3 | *
2 | * *
1 | * * * ← reta y=x
| \ *
0 +----\--------→ x
0 1 2
Neste desenho rápido, a curva em “V” suave é a parábola
, a linha reta é
, e a região entre elas, limitada por
e
, é exatamente
.
Resposta
A área da região
é
.