Calcule a área da região D , limitada pelas curvas y=x, y=x^2, x=0 e x=2 e faça um esboço da região.

Passo 1

O enunciado pede a área da região D limitada pelas curvas y=x, y=x^2 e pelas retas verticais x=0 e x=2. O conteúdo é cálculo de área por integração, para isso precisamos:
  1. Determinar os pontos de interseção de y=x e y=x^2.
  2. Identificar em cada intervalo qual curva está acima.
  3. Montar as integrais adequadas e calculá-las.

Passo 2

Encontramos os pontos em que y=x e y=x^2 se cruzam, resolvendo
x = x^2
x^2 - x = 0
x(x-1)=0
Logo as interseções ocorrem em x=0 e x=1.

Passo 3

Para saber qual curva é superior em cada subintervalo:
  • Em 0 <= x <= 1, temos x >= x^2, então a reta y=x fica acima da parábola y=x^2.
  • Em 1 <= x <= 2, temos x^2 >= x, então a parábola fica acima da reta.

Passo 4

A área A de D é dada pela soma de duas integrais:
A = integral0^1l[(x)-(x^2)r],dx ;+;integral1^2l[(x^2)-(x)r],dx

Passo 5

Calculamos cada parte:
Para a primeira integral,
integral0^1(x - x^2),dx = [x^22 - x^33]0^1 = 12 - 13 = 16
Para a segunda integral,
integral1^2(x^2 - x),dx = [x^33 - x^22]1^2 = l(83 - 2r) - l(13 - 12r) = 23 + 16 = 56
Somando,
A = 16 + 56 = 1

Passo 6

Esboço da região D em coordenadas:
     y
     ↑
   4 |                  
   3 |       *          
   2 |     *   *        
   1 | *  *     *  ← reta y=x
     |   \       *      
   0 +----\--------→ x
        0  1  2       
Neste desenho rápido, a curva em “V” suave é a parábola y=x^2, a linha reta é y=x, e a região entre elas, limitada por x=0 e x=2, é exatamente D.

Resposta

A área da região D é 1.

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