Usando a regra do quociente e do produto, ache dydx|x=1 e d^2ydx^2.
y=3x^2-5

Passo 1

O enunciado dá a função
y = 3x^2-5
e pede a derivada primeira avaliada em x=1, ou seja dydx|x=1, e a derivada segunda d^2ydx^2. Vamos usar regra do quociente para dydx e depois regra do produto (ou cadeia) para d^2ydx^2.

Passo 2

Aplicando a regra do quociente para
y = 3x^2-5 = uv com u=3,;v=x^2-5,
temos
dydx = u',v - u,v'v^2 = 0cdot(x^2-5) - 3cdot(2x)(x^2-5)^2 = -6x(x^2-5)^2

Passo 3

Para avaliar em x=1, basta substituir:
dydx|x=1 = -6cdot1(1^2-5)^2 = -6(-4)^2 = -616 = -38

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada. Escrita dydx = -6x,(x^2-5)^-2, aplicamos regra do produto a u=-6x e w=(x^2-5)^-2:
d^2ydx^2 = u',w + u,w' = (-6),(x^2-5)^-2 + (-6x),l(-2,(x^2-5)^-3cdot 2xr)

Passo 5

Simplificando cada termo:
d^2ydx^2 = -6(x^2-5)^-2 + 24x^2(x^2-5)^-3
Colocando sobre o mesmo denominador (x^2-5)^3:
d^2ydx^2 = -6(x^2-5) + 24x^2(x^2-5)^3 = -6x^2+30 +24x^2(x^2-5)^3 = 18x^2+30(x^2-5)^3 = 6,(3x^2+5)(x^2-5)^3

Resposta

dydx|x=1 = -tfrac38,\quad d^2ydx^2 = 6,(3x^2+5)(x^2-5)^3.

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