Calcule a área da região dada.
(d) A região limitada pela curva y=x^3-4, pelo eixo x e pelas retas x=-2 e x=-1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região limitada pela curva y = x^3 - 4, pelo eixo x (onde y=0) e pelas retas verticais x=-2 e x=-1. O conteúdo aqui é área entre curvas usando integral definida. Para resolver, vamos determinar se a curva está acima ou abaixo do eixo x no intervalo dado e então montar a integral da diferença apropriada.

Passo 2

Para saber se a curva fica acima ou abaixo do eixo, avaliamos y = x^3 - 4 para xin[-2,-1]. Como x^3 varia de -8 a -1, temos
y = x^3 - 4 in [-12, -5] < 0

Passo 3

Ou seja, a curva está abaixo do eixo x, então a área entre o eixo e a curva é dada por
integral-2^-1l(0 - (x^3 - 4)r),dx = integral-2^-1(4 - x^3),dx

Passo 4

Agora precisamos calcular essa integral. Primeiro, achamos a primitiva de 4 - x^3:
integral(4 - x^3),dx = 4x - x^44 + C

Passo 5

Por fim, avaliamos essa primitiva nos limites de integração:
l[4x - tfracx^44r]-2^-1 = l(4(-1) - tfrac(-1)^44r) - l(4(-2) - tfrac(-2)^44r) = l(-4 - tfrac14r) - l(-8 - 4r) = -tfrac174 + 12 = tfrac314

Resposta

tfrac314

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