Esboçar o gráfico da curva dada em coordenadas polares.
theta=pi / 9

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva em coordenadas polares definida por theta = pi/9. O conteúdo aqui é reconhecer que, em coordenadas polares, uma curva com ângulo theta constante dá uma reta que passa pela origem. Vamos usar isso para desenhar o gráfico.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas aplicamos as relações
x = rcos(theta), ;;y = rsin(theta)
Dividindo y por x obtemos:
yx = rsin(theta)rcos(theta) = tan(theta)
Como theta = pi/9, a equação cartesiana vira:
y = xtanl(tfracpi9r)

Passo 3

Calculando o valor de tan(pi/9), temos aproximadamente tan(pi/9) approx 0,364. Assim, a reta fica
y approx 0,364,x

Passo 4

Em polar, r varia livremente. Para r >= 0 obtemos o semirreta que parte da origem na direção de theta = pi/9. Se permitirmos r<0, a reta se estende no sentido oposto, mas normalmente desenhamos só o semirreta para r>=0.
No esboço, desenhe uma linha passando pela origem com inclinação igual a pi/9 (cerca de 20°) em relação ao eixo polar (eixo x). Essa é a curva pedida.

Resposta

Uma semirreta a partir da origem fazendo ângulo de pi/9 com o eixo polar, de equação cartesiana y = xtan(pi/9).

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