Considere a função g(x)=llx2+2, & x<-2 x^2-3, & x >=-2.
( 1,0 pt.) A função g é diferenciável em x=-2 ? Justifique usando o conceito de derivadas laterais.

Passo 1

Temos a função
g(x)= tfracx2+2, & x<-2, x^2-3, & x>=-2
O conteúdo é diferenciabilidade em ponto para função por partes. Para resolver, precisamos verificar continuidade e calcular as derivadas laterais em x=−2.

Passo 2

Primeiro conferimos a continuidade em x=−2. O valor à esquerda é
limxto-2^-g(x)=tfrac-22+2=-1+2=1,
e o valor à direita é
limxto-2^+g(x)=(-2)^2-3=4-3=1
Como ambos são iguais a 1 e g(-2)=(-2)^2-3=1, g é contínua em x=−2.

Passo 3

Agora calculamos a derivada lateral à esquerda. Para x<−2, g(x)=x/2+2 e sua derivada é g’(x)=1/2. Logo,
g'(-2^-) = tfrac12

Passo 4

Em seguida calculamos a derivada lateral à direita. Para x>−2, g(x)=x^2-3 e sua derivada é g’(x)=2x. Assim,
g'(-2^+) = 2cdot(-2) = -4

Passo 5

Como g’(-2^-) = 1/2 ≠ g’(-2^+) = -4, as derivadas laterais não coincidem, logo g não é diferenciável em x=−2.

Resposta

g não é diferenciável em x=−2 porque as derivadas laterais são diferentes (1/2 ≠ -4).

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