Considere a função
.
( 1,0 pt.) A função
é diferenciável em
? Justifique usando o conceito de derivadas laterais.
( 1,0 pt.) A função
Passo 1
Temos a função
O conteúdo é diferenciabilidade em ponto para função por partes. Para resolver, precisamos verificar continuidade e calcular as derivadas laterais em x=−2.
Passo 2
Primeiro conferimos a continuidade em x=−2. O valor à esquerda é
e o valor à direita é
Como ambos são iguais a 1 e g(-2)=(-2)^2-3=1, g é contínua em x=−2.
Passo 3
Agora calculamos a derivada lateral à esquerda. Para x<−2, g(x)=x/2+2 e sua derivada é g’(x)=1/2. Logo,
Passo 4
Em seguida calculamos a derivada lateral à direita. Para x>−2, g(x)=x^2-3 e sua derivada é g’(x)=2x. Assim,
Passo 5
Como g’(-2^-) = 1/2 ≠ g’(-2^+) = -4, as derivadas laterais não coincidem, logo g não é diferenciável em x=−2.
Resposta
g não é diferenciável em x=−2 porque as derivadas laterais são diferentes (1/2 ≠ -4).