Calcule a área da região delimitada pela astroide
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a área da região delimitada pela curva chamada astroida, dada pela equação
. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integrais, e tirar proveito da simetria da figura para facilitar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a astroida se comporta. A equação
é simétrica em relação aos eixos
e
. Isso significa que podemos calcular a área em apenas um dos quadrantes e depois multiplicar por 4 para obter a área total.
Passo 3
Vamos focar no primeiro quadrante, onde
e
. Resolvendo a equação para
:
Agora, temos
em função de
, o que nos permitirá integrar para encontrar a área.
Passo 4
Para encontrar a área no primeiro quadrante, vamos integrar
em relação a
desde
até o ponto onde a curva intercepta o eixo
. Quando
:
Então, os limites de integração são de 0 a 8.
Passo 5
A área
no primeiro quadrante é:
Essa integral pode ser um pouco complicada de resolver diretamente, mas podemos simplificar usando substituição trigonométrica ou fórmulas conhecidas de áreas de curvas similares.
No caso da astroida, sabemos que a área total é dada por:
Onde
é o parâmetro da astroida. Comparando com a nossa equação
, percebemos que
, então
.
Passo 6
Substituindo
na fórmula da área:
Resposta
A área da região delimitada pela astroida
é
unidades de área.