Calcule a área da região delimitada pela astroide x^23+y^23=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a área da região delimitada pela curva chamada astroida, dada pela equação x^23 + y^23 = 4. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integrais, e tirar proveito da simetria da figura para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a astroida se comporta. A equação x^23 + y^23 = 4 é simétrica em relação aos eixos x e y. Isso significa que podemos calcular a área em apenas um dos quadrantes e depois multiplicar por 4 para obter a área total.

Passo 3

Vamos focar no primeiro quadrante, onde x >= 0 e y >= 0. Resolvendo a equação para y:
y^23 = 4 - x^23 y = (4 - x^23)^32
Agora, temos y em função de x, o que nos permitirá integrar para encontrar a área.

Passo 4

Para encontrar a área no primeiro quadrante, vamos integrar y em relação a x desde x = 0 até o ponto onde a curva intercepta o eixo x. Quando y = 0:
0 = (4 - x^23)^32 4 - x^23 = 0 x^23 = 4 x = 4^32 = 8
Então, os limites de integração são de 0 a 8.

Passo 5

A área Aprimeiro no primeiro quadrante é:
Aprimeiro = integral0^8 (4 - x^23)^32 dx
Essa integral pode ser um pouco complicada de resolver diretamente, mas podemos simplificar usando substituição trigonométrica ou fórmulas conhecidas de áreas de curvas similares.
No caso da astroida, sabemos que a área total é dada por:
Atotal = 38 pi a^2
Onde a é o parâmetro da astroida. Comparando com a nossa equação x^23 + y^23 = 4, percebemos que a^23 = 4, então a = 4^32 = 8.

Passo 6

Substituindo a = 8 na fórmula da área:
Atotal = 38 pi (8)^2 = 38 pi times 64 = 24pi

Resposta

A área da região delimitada pela astroida x^23 + y^23 = 4 é 24pi unidades de área.

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