Derive cada uma das funções dadas abaixo.
y=(x^2+1)(x^2+2)^1 / 3

Passo 1

Temos a função y = (x²+1)·(x²+2)^{1/3}. O conteúdo é derivadas de produto e de função composta. Vamos usar as regras:
(ucdot v)' = u'cdot v + ucdot v'
(g(x))^n)' = n,(g(x))^n-1,g'(x)

Passo 2

Definimos u(x)=x²+1 e v(x)=(x²+2)^{1/3}, de modo que y(x)=u(x)·v(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas:
u’(x)=2x
Para v usamos regra da cadeia: interior g(x)=x²+2, g’(x)=2x e expoente 1/3, então
v'(x)=tfrac13(x²+2)^-2/3cdot 2x = tfrac2x3(x²+2)^-2/3 ²²

Passo 4

Aplicamos a regra do produto: substitutions:
y' = u'cdot v + ucdot v' = 2x,(x²+2)^1/3 + (x²+1)cdot tfrac2x3(x²+2)^-2/3 ²²²

Passo 5

Fatoramos 2x(x²+2)^{-2/3} em evidência:
y' = 2x(x²+2)^-2/3l[(x²+2) + tfracx²+13r] ²²²

Passo 6

Agora somamos dentro do colchete:
(x²+2)+tfracx²+13 = tfrac3(x²+2)+(x²+1)3 = tfrac4x²+73 ²²²²²

Resposta

y'= 2x(4x²+7)3,(x²+2)^2/3²²

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