Calcule a área da região delimitada pela curva, para
f(x)=cos (x) de x in[0,2 pi]

Passo 1

A questão pede para calcular a área entre a curva y=cos(x) e o eixo x para x variando de 0 a 2π. O conteúdo é integração definida e precisamos usar a função valor absoluto, já que cos(x) muda de sinal nesse intervalo.

Passo 2

Identificamos os pontos onde cos(x)=0 para dividir em subintervalos em que cos(x) é positiva ou negativa. Sabemos que cos(x)=0 em x=π/2 e x=3π/2.

Passo 3

Escrevemos a área como a soma das integrais do valor absoluto de cos(x) nesses subintervalos: de 0 a π/2, de π/2 a 3π/2 e de 3π/2 a 2π.

Passo 4

No intervalo [0,π/2], cos(x)≥0, então temos:
A1=integral0^pi/2cos(x),dx
Calculando,
A1=sin(x)|0^pi/2=sinl(pi2r)-sin(0)=1-0=1

Passo 5

No intervalo [π/2,3π/2], cos(x)≤0, então a área é dada por:
A2=integralpi/2^3pi/2-cos(x),dx
Calculando,
A2=-sin(x)|pi/2^3pi/2=-l(sinl(3pi2r)-sinl(pi2r)r)=-(-1-1)=2

Passo 6

No intervalo [3π/2,2π], cos(x)≥0 de novo, então:
A3=integral3pi/2^2picos(x),dx
Calculando,
A3=sin(x)|3pi/2^2pi=sin(2pi)-sinl(3pi2r)=0-(-1)=1

Passo 7

Somamos as três áreas parciais para obter a área total:
A=A1+A2+A3=1+2+1=4

Resposta

4

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