Determine o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
sumn=1^infty (-1)^n 2^n x^n(n+1)^3

Passo 1

O exercício pede pra gente achar o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty (-1)^n2^n x^n(n+1)^3. O conteúdo aqui é convergência de séries de potências e vamos usar o teste da razão pra encontrar o raio de convergência e depois testar as extremidades.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão. Seja an=(-1)^n2^n(n+1)^3. Então
L=limntoinfty|an+1x^n+1anx^n|=limntoinfty2|x|(n+1)^3(n+2)^3=2|x|

Passo 3

Pela condição de convergência do teste da razão temos L<1, isto é, 2|x|<1 ou |x|. Logo, o raio de convergência é R=tfrac12 e a convergência é garantida em (-tfrac12,tfrac12).

Passo 4

Agora precisamos testar as extremidades.

Passo 5

Para x=tfrac12 o termo geral vira
(-1)^n2^n(tfrac12)^n(n+1)^3=(-1)^n(n+1)^3, que é uma série alternada com termos decrescentes a zero. Além disso, sum1/(n+1)^3 converge (p–série com p=3>1), então em x=tfrac12 a série converge absolutamente.

Passo 6

Para x=-tfrac12 o termo geral vira
(-1)^n2^n(-tfrac12)^n(n+1)^3=1(n+1)^3, que é uma p–série com p=3>1 e converge absolutamente também.

Resposta

[-1/2, 1/2]

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