Determine o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
Passo 1
O exercício pede pra gente achar o intervalo de convergência da série de potências . O conteúdo aqui é convergência de séries de potências e vamos usar o teste da razão pra encontrar o raio de convergência e depois testar as extremidades.
Passo 2
Vamos aplicar o teste da razão. Seja . Então
Passo 3
Pela condição de convergência do teste da razão temos L<1, isto é, 2|x|<1 ou |x|. Logo, o raio de convergência é R=tfrac12 e a convergência é garantida em (-tfrac12,tfrac12).
Passo 4
Agora precisamos testar as extremidades.
Passo 5
Para x=tfrac12 o termo geral vira
(-1)^n2^n(tfrac12)^n(n+1)^3=(-1)^n(n+1)^3, que é uma série alternada com termos decrescentes a zero. Além disso, sum1/(n+1)^3 converge (p–série com p=3>1), então em x=tfrac12 a série converge absolutamente.
Passo 6
Para x=-tfrac12 o termo geral vira
(-1)^n2^n(-tfrac12)^n(n+1)^3=1(n+1)^3, que é uma p–série com p=3>1 e converge absolutamente também.