Calcule a área da região delimitada pelas curvas abaixo no primeiro quadrante:
y=x^{2}-2 x+4, y=-2 x+8, y=0 e x=0

Passo 1

O enunciado pede a área da região no primeiro quadrante limitada pelas curvas
\displaystyle y = x^{2} - 2x + 4, \displaystyle y = -2x + 8, \displaystyle y = 0 e \displaystyle x = 0.
O conteúdo aqui é integração para calcular área entre curvas. Vamos precisar:
  1. Encontrar os pontos de interseção das curvas.
  2. Descrever a região e dividi-la em sub-regiões para integrar.
  3. Calcular as integrais correspondentes e somar as áreas.

Passo 2

Primeiro, achamos onde a parábola e a reta se cruzam, resolvendo
x^{2} - 2x + 4 \;=\; -2x + 8
\Rightarrow x^{2} - 2x + 4 + 2x - 8 = 0
\Rightarrow x^{2} - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 2.
No primeiro quadrante fica x=2, e então
y = -2\cdot 2 + 8 = 4.
Logo, as curvas se encontram em (2,4).
A reta y=-2x+8 corta o eixo x em
-2x + 8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 4,
isto é, em (4,0). A parábola x^{2}-2x+4 não corta o eixo x (discriminante negativo), e em x=0 vale y=4.

Passo 3

No intervalo 0 \le x \le 2, a reta está acima da parábola, e ambas estão acima de y=0. A parte da região ali fica entre as duas curvas, com altura \bigl(-2x+8\bigr) - \bigl(x^{2}-2x+4\bigr).
No intervalo 2 \le x \le 4, a região fica entre a reta e o eixo y=0, com altura -2x+8.
Assim a área total é
A = \int_{0}^{2}\Bigl[(-2x+8) - (x^{2}-2x+4)\Bigr]\,dx \;+\;\int_{2}^{4}(-2x+8)\,dx.

Passo 4

Simplificando o integrando no primeiro termo:
(-2x+8) - (x^{2}-2x+4) = -2x + 8 - x^{2} + 2x - 4 = 4 - x^{2}.
Logo
\int_{0}^{2}(4 - x^{2})\,dx = \Bigl[4x - \tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{2} = \bigl(8 - \tfrac{8}{3}\bigr) = \tfrac{16}{3}.
Para o segundo termo:
\int_{2}^{4}(8 - 2x)\,dx = \Bigl[8x - x^{2}\Bigr]_{2}^{4} = (32 - 16) - (16 - 4) = 16 - 12 = 4.

Passo 5

Somando as duas partes:
A = \tfrac{16}{3} + 4 = \tfrac{16}{3} + \tfrac{12}{3} = \tfrac{28}{3}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \tfrac{28}{3}.

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