Calcule a área da região delimitada pelas curvas abaixo no primeiro quadrante:
e
Passo 1
O enunciado pede a área da região no primeiro quadrante limitada pelas curvas
,
,
e
.
O conteúdo aqui é integração para calcular área entre curvas. Vamos precisar:
O conteúdo aqui é integração para calcular área entre curvas. Vamos precisar:
- Encontrar os pontos de interseção das curvas.
- Descrever a região e dividi-la em sub-regiões para integrar.
- Calcular as integrais correspondentes e somar as áreas.
Passo 2
Primeiro, achamos onde a parábola e a reta se cruzam, resolvendo
No primeiro quadrante fica
, e então
Logo, as curvas se encontram em
.
A reta corta o eixo
em
A reta
isto é, em
. A parábola
não corta o eixo
(discriminante negativo), e em
vale
.
Passo 3
No intervalo
, a reta está acima da parábola, e ambas estão acima de
. A parte da região ali fica entre as duas curvas, com altura
.
No intervalo , a região fica entre a reta e o eixo
, com altura
.
Assim a área total é
No intervalo
Assim a área total é
Passo 4
Simplificando o integrando no primeiro termo:
Logo
Para o segundo termo:
Passo 5
Somando as duas partes:
Resposta
A área da região é
.