Calcule f(x)
f^{\prime \prime}(x)=x+\cos (x), f^{\prime}(0)=5, f(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a segunda derivada
f''(x)=x+\cos(x)
com as condições iniciais f'(0)=5 e f(0)=1.
O método é integrar duas vezes: primeiro para obter f'(x) (introduzindo uma constante C_1), aplicar f'(0) para achar C_1; depois integrar f'(x) para obter f(x) (com outra constante C_2) e usar f(0) para determinar C_2.

Passo 2

Para achar f'(x), integramos f''(x):
f'(x)=\int\bigl(x+\cos(x)\bigr)\,dx=\frac{x^2}{2}+\sin(x)+C_1.
Aplicando a condição f'(0)=5:
f'(0)=0+0+C_1=5\quad\implies\quad C_1=5.
Logo,
f'(x)=\frac{x^2}{2}+\sin(x)+5.

Passo 3

Agora integramos f'(x) para obter f(x):
f(x)=\int\Bigl(\frac{x^2}{2}+\sin(x)+5\Bigr)\,dx=\frac{x^3}{6}-\cos(x)+5x+C_2.
Usando a condição f(0)=1:
f(0)=0-1+0+C_2=1\quad\implies\quad C_2=2.
Portanto,
f(x)=\frac{x^3}{6}-\cos(x)+5x+2.

Resposta

f(x)=\frac{x^3}{6}-\cos(x)+5x+2.

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