Calcule as integrais abaixo:
\int \frac{3 x^{3}+3 x^{2}+x+3}{x^{4}+x^{2}} d x(0,4 \mathrm{pts})

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int \frac{3x^{3}+3x^{2}+x+3}{x^{4}+x^{2}}\,dx.
O conteúdo é fração racional; vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^{4}+x^{2} = x^{2}(x^{2}+1).
Procuramos uma decomposição da forma
\frac{3x^{3}+3x^{2}+x+3}{x^{2}(x^{2}+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{Cx+D}{x^{2}+1}.

Passo 3

Multiplicando por x^{2}(x^{2}+1)\), obtemos \[3x^{3}+3x^{2}+x+3 = A\,x(x^{2}+1) + B(x^{2}+1) + (Cx+D)x^{2}.
Expandindo e agrupando termos:
3x^{3}+3x^{2}+x+3 = (A+C)x^{3} + (B+D)x^{2} + A\,x + B.
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A + C = 3,\\\ B + D = 3,\\\ A = 1,\\\ B = 3, \end{cases}
logo A=1\], \(B=3, C=2, D=0.

Passo 4

Substituindo na integral:
\int \frac{3x^{3}+3x^{2}+x+3}{x^{2}(x^{2}+1)}\,dx = \int\Bigl(\frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{2x}{x^{2}+1}\Bigr)\,dx.
Agora, integramos termo a termo:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|,\qquad \int \frac{3}{x^{2}}\,dx = -\frac{3}{x},\qquad \int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx = \ln\bigl(x^{2}+1\bigr).

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, fica:
\int \frac{3x^{3}+3x^{2}+x+3}{x^{4}+x^{2}}\,dx = \ln|x| - \frac{3}{x} + \ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + C.

Resposta

\ln|x| - \frac{3}{x} + \ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + C.

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