Calcule a área da região delimitada pelas curvas dadas:
y=\frac{1}{x}, y=x e x=e

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=\frac{1}{x}, y=x e x=e. Esse é um problema de cálculo de área por integração definida, subtraindo as funções que formam as fronteiras verticalmente.

Passo 2

Para encontrar o limite à esquerda da região, determinamos a interseção entre y=x e y=\frac{1}{x}. Isso requer resolver
x = \frac{1}{x}
que leva a x^2=1 e, considerando x>0, obtemos x=1. O ponto de interseção é (1,1).
No intervalo 1 \le x \le e, a reta y=x está acima da hipérbole y=\frac{1}{x}. A linha vertical x=e fecha a região à direita, enquanto o ponto (1,1) fecha à esquerda.

Passo 3

A área A é dada pela integral da diferença entre a função superior e a função inferior:
A = \int_{1}^{e} \bigl(x - \tfrac{1}{x}\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral
\int \bigl(x - \tfrac{1}{x}\bigr)\,dx = \frac{x^2}{2} - \ln(x).
Avaliando de x=1 até x=e,
A = \left[\frac{x^2}{2} - \ln(x)\right]_{1}^{e} = \Bigl(\tfrac{e^2}{2} - 1\Bigr) - \Bigl(\tfrac{1}{2} - 0\Bigr) = \frac{e^2 - 3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{e^2 - 3}{2}

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