Calcule a área da região delimitada pelas curvas dadas:
y=x^{2}-x-2 & y=-x-1

Passo 1

O enunciado nos pede a área da região limitada pelos gráficos de y = x^2 - x - 2 e y = -x - 1. O conteúdo envolve cálculo de área entre curvas usando integração definida. Para resolver, precisamos achar os pontos de interseção, determinar qual curva está acima na região e montar a integral da diferença entre elas.

Passo 2

Encontrar interseção: resolvemos
x^2 - x - 2 = -x - 1
que leva a
x^2 - 1 = 0
cuja solução é x = -1 e x = 1.

Passo 3

Para determinar qual curva é superior em [-1,1], avalio em x=0:
y_{\text{parab}}(0) = 0^2 - 0 - 2 = -2,
y_{\text{reta}}(0) = -0 - 1 = -1.
Logo, a reta y = -x - 1 está acima da parábola y = x^2 - x - 2.

Passo 4

A área buscada é
\int_{-1}^{1}\bigl(y_{\text{superior}} - y_{\text{inferior}}\bigr)\,dx = \int_{-1}^{1}\bigl[(-x - 1) - (x^2 - x - 2)\bigr]\,dx = \int_{-1}^{1}(-x^2 + 1)\,dx.

Passo 5

Calculo a primitiva de -x^2 + 1:
\int(-x^2 +1)\,dx = -\frac{x^3}{3} + x.

Passo 6

Avalio de -1 a 1:
\left(-\frac{1^3}{3} + 1\right) - \left(-\frac{(-1)^3}{3} + (-1)\right) = \left(-\frac{1}{3} +1\right) - \left(\frac{1}{3} -1\right) = \frac{2}{3} - \bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr) = \frac{4}{3}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \frac{4}{3}.

Exercícios relacionados