Calcule a área da região delimitada pelas curvas dadas:
y=\frac{1}{x}, y=x^{3}, y=8

Passo 1

O enunciado pede a área da região no primeiro quadrante delimitada pelas curvas y=\frac{1}{x}, y=x^{3} e y=8. Vamos usar integração em x, subtraindo a curva inferior da curva superior em cada intervalo, e antes disso precisamos achar onde essas curvas se interceptam para definir os limites.

Passo 2

Calculamos as interseções entre pares de curvas:
  1. Igualando y=\tfrac{1}{x} e y=x^{3}:
x^{3} = \frac{1}{x} \quad\Longrightarrow\quad x^{4}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=1\quad(x>0),
dando o ponto \,(1,1).
  1. Igualando y=x^{3} e y=8:
x^{3}=8 \quad\Longrightarrow\quad x=2,
dando o ponto \,(2,8).
  1. Igualando y=\tfrac{1}{x} e y=8:
\frac{1}{x}=8 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{1}{8},
dando o ponto \bigl(\tfrac{1}{8},8\bigr).
Assim a região fechada tem vértices \bigl(\tfrac{1}{8},8\bigr), (1,1) e (2,8).

Passo 3

A curva superior é sempre y=8. A curva inferior muda em x=1:
  • Para x\in\bigl[\tfrac{1}{8},1\bigr], a inferior é y=\tfrac{1}{x}.
  • Para x\in[1,2], a inferior é y=x^{3}.
Logo, a área A é
\int_{1/8}^{1}\Bigl(8 - \tfrac{1}{x}\Bigr)\,dx \;+\; \int_{1}^{2}\bigl(8 - x^{3}\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos a segunda integral primeiro (mais simples):
\int_{1}^{2}\bigl(8 - x^{3}\bigr)\,dx = \Bigl[\,8x - \tfrac{x^{4}}{4}\Bigr]_{1}^{2} = \bigl(16 - \tfrac{16}{4}\bigr)\;-\;\bigl(8 - \tfrac{1}{4}\bigr) = 12 - \tfrac{31}{4} = \tfrac{48-31}{4} = \tfrac{17}{4}.

Passo 5

Agora a primeira integral:
\int_{1/8}^{1}\Bigl(8 - \tfrac{1}{x}\Bigr)\,dx = \Bigl[\,8x - \ln(x)\Bigr]_{1/8}^{1} = \bigl(8 - 0\bigr)\;-\;\Bigl(1 - \ln\bigl(\tfrac{1}{8}\bigr)\Bigr) = 8 - \bigl(1 + \ln\bigl(\tfrac{1}{8}\bigr)\bigr) = 7 - \bigl(-\ln(8)\bigr) = 7 - \ln(8).

Passo 6

Somando os resultados das duas integrais:
A = \frac{17}{4} \;+\; \bigl(7 - \ln(8)\bigr) = \frac{17 + 28}{4} \;-\; \ln(8) = \frac{45}{4} - \ln(8).
Como \ln(8)=3\ln(2), uma forma alternativa é \frac{45}{4} - 3\ln(2).

Resposta

\frac{45}{4} \;-\; \ln(8) \quad\bigl(\text{ou}\;\frac{45}{4}-3\ln(2)\bigr).

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