Calcule a área da região delimitada pelas curvas dadas:
Passo 1
O enunciado pede a área da região no primeiro quadrante delimitada pelas curvas
,
e
. Vamos usar integração em
, subtraindo a curva inferior da curva superior em cada intervalo, e antes disso precisamos achar onde essas curvas se interceptam para definir os limites.
Passo 2
Calculamos as interseções entre pares de curvas:
- Igualando
e :
dando o ponto
.
- Igualando
e :
dando o ponto
.
- Igualando
e :
dando o ponto
.
Assim a região fechada tem vértices
,
e
.
Passo 3
A curva superior é sempre
. A curva inferior muda em
:
- Para
, a inferior é . - Para
, a inferior é .
Logo, a área
é
Passo 4
Calculamos a segunda integral primeiro (mais simples):
Passo 5
Agora a primeira integral:
Passo 6
Somando os resultados das duas integrais:
Como
, uma forma alternativa é
.