Calcule a área da região delimitada pelas curvas dadas:
y=\operatorname{tg} x, y=1 e x=-\frac{\pi}{4}

Passo 1

O enunciado nos dá a região limitada por y=\tan x, y=1 e x=-\frac{\pi}{4} e pede a área dessa região.
O conteúdo necessário é cálculo de área por integração, usando tiras verticais e subtraindo as funções que definem as fronteiras superior e inferior.

Passo 2

Encontrar a interseção das curvas y=\tan x e y=1, resolvendo
\tan x = 1.
Na primeira região relevante, isso ocorre em
x = \frac{\pi}{4}.

Passo 3

Para x variando de -\frac{\pi}{4} até \frac{\pi}{4}, a fronteira superior é y=1 e a inferior é y=\tan x. Portanto a área é dada por
A = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\bigl(1 - \tan x\bigr)\,dx.

Passo 4

Calcular a integral termo a termo:
\int\bigl(1 - \tan x\bigr)\,dx = \int 1\,dx \;-\;\int \tan x\,dx = x + \ln\bigl|\cos x\bigr| + C.

Passo 5

Avaliar a primitiva de -\frac{\pi}{4} a \frac{\pi}{4}:
A = \Bigl[x + \ln\bigl|\cos x\bigr|\Bigr]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \Bigl(\tfrac{\pi}{4} + \ln(\tfrac{\sqrt2}{2})\Bigr) -\Bigl(-\tfrac{\pi}{4} + \ln(\tfrac{\sqrt2}{2})\Bigr) = \frac{\pi}{2}.

Resposta

A = \frac{\pi}{2}.

Exercícios relacionados