Calcule a integral dupla da função
f(x, y)=5 x^{2}+y^{3} no conjunto
B=[0,1] \times[1,2].

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados (peguei isto do enunciado):
  • Pedem para calcular a integral dupla da função f(x,y)=5x^{2}+y^{3} no conjunto B=[0,1]\times[1,2].
  • O conjunto B é um retângulo no plano: x varia de 0 a 1 e y varia de 1 a 2.
  • Portanto a quantidade procurada é a área com peso dada por integrar f sobre todas as (x,y) em B.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (de forma bem direta e prática).
  • Para regiões retangulares como B=[0,1]\times[1,2] podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada (regra de Fubini). Isso significa que
\iint_{B} f(x,y)\,dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=1}^{2} f(x,y)\,dy\right)dx
ou também podemos trocar a ordem das integrais. Aqui vou integrar primeiro em y e depois em x, porque a expressão fica simples assim. Não é obrigatório, é só escolha prática.

Passo 3

Escrever a integral iterada explícita e notar uma simplificação útil.
  • Montando a integral:
\iint_{B} (5x^{2}+y^{3})\,dA = \int_{0}^{1}\left(\int_{1}^{2} (5x^{2}+y^{3})\,dy\right)dx.
  • Observação importante: dentro da integral em y, o termo 5x^{2} é constante (porque depende só de x) e o termo y^{3} depende só de y. Isso permite separar a integração com facilidade.

Passo 4

Lembrando as regras básicas de integração que vamos usar (mini-aula rápida).
  • Regra do fator constante: se c é constante (em relação à variável de integração), então \int c\cdot g(t)\,dt = c\int g(t)\,dt.
  • Regra de potência (antiderivada): para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui vamos aplicar essas regras com t=y e t=x.

Passo 5

Calcular a integral interna em y.
  • Integramos em y:
\int_{1}^{2} (5x^{2}+y^{3})\,dy = \int_{1}^{2} 5x^{2}\,dy + \int_{1}^{2} y^{3}\,dy.
  • Pelo fato constante,
\int_{1}^{2} 5x^{2}\,dy = 5x^{2}\cdot (2-1) = 5x^{2}.
  • Usando a regra de potência,
\int_{1}^{2} y^{3}\,dy = \left.\frac{y^{4}}{4}\right|_{1}^{2} = \frac{2^{4}-1^{4}}{4} = \frac{16-1}{4} = \frac{15}{4}.
  • Somando os dois resultados obtemos a função de x que entra na integral externa:
\int_{1}^{2} (5x^{2}+y^{3})\,dy = 5x^{2} + \frac{15}{4}.

Passo 6

Calcular a integral externa em x.
  • Agora integramos em x de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\left(5x^{2} + \frac{15}{4}\right)dx = \int_{0}^{1} 5x^{2}\,dx + \int_{0}^{1} \frac{15}{4}\,dx.
  • Aplicando a regra de potência para \int 5x^{2}\,dx:
\int 5x^{2}\,dx = 5\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{5}{3}x^{3}.
Avaliando de 0 a 1 \frac{5}{3}.
  • Para a constante,
\int_{0}^{1} \frac{15}{4}\,dx = \frac{15}{4}\cdot(1-0) = \frac{15}{4}.
  • Somando:
\frac{5}{3} + \frac{15}{4} = \frac{20}{12} + \frac{45}{12} = \frac{65}{12}.

Passo 7

Verificação rápida (mesma conta trocando a ordem, só para confiança).
  • Se integrássemos primeiro em x:
\int_{0}^{1} (5x^{2}+y^{3})\,dx = \int_{0}^{1} 5x^{2}\,dx + \int_{0}^{1} y^{3}\,dx = \frac{5}{3} + y^{3}\cdot(1-0) = \frac{5}{3}+y^{3}.
  • Integrando em y de 1 a 2:
\int_{1}^{2} \left(\frac{5}{3}+y^{3}\right)dy = \frac{5}{3}(2-1) + \left.\frac{y^{4}}{4}\right|_{1}^{2} = \frac{5}{3} + \frac{15}{4} = \frac{65}{12},
que coincide com o resultado anterior. Boa confirmação!

Resposta

\dfrac{65}{12}

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