Calcule a área da região delimitada pelas curvas:
y=e^{x}, y=e^{-x}, x=0 e x=3 \ln (2)

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=e^{x}, y=e^{-x}, x=0 e x=3\ln(2).
Informações dadas e pedido, em itens claros:
  • As curvas verticais que limitam a região são x=0 e x=3\ln(2).
  • As curvas horizontais/funcionais que limitam são y=e^{x} e y=e^{-x}.
  • O objetivo é calcular a área da região entre essas duas funções no intervalo de x entre 0 e 3\ln(2).

Passo 2

Ideia e fórmula para área entre curvas (aula rápida):
Se duas funções y=f(x) e y=g(x) são contínuas num intervalo [a,b] e f(x)\ge g(x) para todo x\in[a,b], a área entre elas é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui cada pedaço vertical do retângulo diferencial tem altura f(x)-g(x) e base dx; somando (integrando) ao longo de x obtemos a área total.

Passo 3

Determinar qual função é a maior (topo) no intervalo. Para x\ge0 temos intuitivamente e^{x}\ge e^{-x}, mas vamos justificar com uma conta simples:
e^{x}-e^{-x}=e^{-x}\bigl(e^{2x}-1\bigr).
Para x\ge0 vale e^{2x}\ge1, logo e^{2x}-1\ge0 e portanto e^{x}-e^{-x}\ge0. Conclusão: em [0,3\ln(2)] a função superior é y=e^{x} e a inferior é y=e^{-x}.

Passo 4

Montar a integral da área usando a=0 e b=3\ln(2):
\text{Área}=\int_{0}^{3\ln(2)}\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr)\,dx.Á
Agora integramos termo a termo. Lembrando as primitivadas básicas:
\int e^{x}\,dx=e^{x}+C,\qquad \int e^{-x}\,dx=-e^{-x}+C.
Portanto
\int\bigl(e^{x}-e^{-x}\bigr)\,dx=e^{x}+e^{-x}+C,
pois a derivada de e^{x}+e^{-x} é e^{x}-e^{-x}.

Passo 5

Avaliar a primitiva nos limites:
\text{Área}=\bigl[e^{x}+e^{-x}\bigr]_{0}^{3\ln(2)}=\bigl(e^{3\ln(2)}+e^{-3\ln(2)}\bigr)-\bigl(e^{0}+e^{0}\bigr).Á
Usar a identidade e^{\ln(a)}=a e propriedades de potências:
e^{3\ln(2)}=e^{\ln(2^{3})}=2^{3}=8,\qquad e^{-3\ln(2)}=2^{-3}=\tfrac{1}{8},\qquad e^{0}=1.
Substituindo:
\text{Área}=(8+\tfrac{1}{8})-(1+1)=8+\tfrac{1}{8}-2=6+\tfrac{1}{8}=\tfrac{49}{8}.Á

Resposta

\tfrac{49}{8}

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