Calcule a área da região delimitada pelas curvas:
e
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
,
,
e
.
Informações dadas e pedido, em itens claros:
Informações dadas e pedido, em itens claros:
- As curvas verticais que limitam a região são
e . - As curvas horizontais/funcionais que limitam são
e . - O objetivo é calcular a área da região entre essas duas funções no intervalo de
entre e .
Passo 2
Ideia e fórmula para área entre curvas (aula rápida):
Se duas funções e
são contínuas num intervalo
e
para todo
, a área entre elas é
Se duas funções
Aqui cada pedaço vertical do retângulo diferencial tem altura
e base
; somando (integrando) ao longo de
obtemos a área total.
Passo 3
Determinar qual função é a maior (topo) no intervalo. Para
temos intuitivamente
, mas vamos justificar com uma conta simples:
Para
vale
, logo
e portanto
. Conclusão: em
a função superior é
e a inferior é
.
Passo 4
Montar a integral da área usando
e
:
Agora integramos termo a termo. Lembrando as primitivadas básicas:
Portanto
pois a derivada de
é
.
Passo 5
Avaliar a primitiva nos limites:
Usar a identidade
e propriedades de potências:
Substituindo: