Calcule a área da região delimitada pelas curvas:
y=\cos (x), y=\cos ^{3}(x), x=0 e x=\pi / 2

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que ele pede, listando todas as informações relevantes:
  • As curvas dadas são \;y=\cos(x)\; e \;y=\cos^{3}(x)\;.
  • As retas verticais que limitam a região são \;x=0\; e \;x=\pi/2\;.
  • A pergunta é: calcular a área da região limitada por essas quatro curvas (ou seja, a área entre as duas curvas no intervalo [0,\pi/2]).
  • Informações úteis (retiradas do enunciado e do conhecimento direto das funções):
    • Em x=0 vale \cos(0)=1 e \cos^{3}(0)=1.
    • Em x=\pi/2 vale \cos(\pi/2)=0 e \cos^{3}(\pi/2)=0.
    • Para x\in(0,\pi/2) tem-se \cos(x)\in(0,1), portanto \cos^{3}(x)<\cos(x) nesse intervalo (porque elevar um número em (0,1) ao cubo diminui seu valor).

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicada passo a passo, devagarzinho): para calcular áreas entre duas curvas que são funções comparáveis numa mesma variável x num intervalo [a,b], usa-se a integral definida da função superior menos a função inferior. Em símbolos:
\text{Área}=\int_{a}^{b} \big(\text{função superior} - \text{função inferior}\big)\,dx.Áçãçã
O motivo: a integral calcula soma de “retângulos infinitesimais” de altura igual à diferença vertical entre as curvas e largura dx. Aqui o intervalo é [0,\pi/2]. Pelo que listamos no Passo 1, para x\in(0,\pi/2) a função superior é \cos(x) e a inferior é \cos^{3}(x). Logo devemos calcular a integral
\text{Área}=\int_{0}^{\pi/2}\big(\cos(x)-\cos^{3}(x)\big)\,dx.Á

Passo 3

Confirmação e justificativa de qual curva está acima da outra (não pule isso na prova!):
  • Seja t=\cos(x). Para x\in(0,\pi/2) tem t\in(0,1).
  • Se 0<t<1 então t^3<t. Aplicando isso com t=\cos(x) obtemos \cos^{3}(x)<\cos(x).
  • Nos extremos x=0 e x=\pi/2 as curvas se encontram (ambas valem 1 em 0 e 0 em \pi/2), então a região é fechada entre as duas curvas nesses limites.
    Portanto a integral do Passo 2 está corretamente montada.

Passo 4

Preparar a integral e separá-la em partes fáceis de calcular:
\text{Área}=\int_{0}^{\pi/2}\cos(x)\,dx \;-\; \int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}(x)\,dx.Á
Vamos calcular cada integral separadamente. Lembre: integrar é encontrar a antiderivada (primitiva) e depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo avaliando nos limites.

Passo 5

Cálculo da primeira integral (simples):
\int \cos(x)\,dx = \sin(x) + C.
Então
\int_{0}^{\pi/2}\cos(x)\,dx = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-\sin(0).

Passo 6

Cálculo da segunda integral usando redução de potência e substituição (explico cada passo):
  • Primeiro escrevo \cos^{3}(x) de uma forma útil:
\cos^{3}(x)=\cos(x)\big(1-\sin^{2}(x)\big)=\cos(x)-\cos(x)\sin^{2}(x).
  • Assim a primitiva de \cos^{3}(x) se escreve como primitiva de \cos(x) menos primitiva de \cos(x)\sin^{2}(x).
  • Para integrar \cos(x)\sin^{2}(x) uso a substituição u=\sin(x). Então du=\cos(x)\,dx.
  • Com essa substituição:
\int \cos(x)\sin^{2}(x)\,dx=\int u^{2}\,du=\frac{u^{3}}{3}+C=\frac{\sin^{3}(x)}{3}+C.
  • Logo, juntando tudo:
\int \cos^{3}(x)\,dx = \int \cos(x)\,dx - \int \cos(x)\sin^{2}(x)\,dx = \sin(x) - \frac{\sin^{3}(x)}{3} + C.

Passo 7

Agora retorno à área definida e aplico as primitivas nos limites [0,\pi/2]:
  • Da Parte 5 temos
\int_{0}^{\pi/2}\cos(x)\,dx = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-\sin(0).
  • Da Parte 6 temos
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}(x)\,dx = \left[\sin(x)-\frac{\sin^{3}(x)}{3}\right]_{0}^{\pi/2} = \bigg(\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-\frac{\sin^{3}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)}{3}\bigg) - \bigg(\sin(0)-\frac{\sin^{3}(0)}{3}\bigg).
  • Subtraindo as duas integrais conforme a fórmula da área:
\text{Área}=\Big(\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-\sin(0)\Big) -\Big(\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-\frac{\sin^{3}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)}{3}-\sin(0)+\frac{\sin^{3}(0)}{3}\Big).Á

Passo 8

Simplificação final (faça devagar):
  • Sabendo que \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1 e \sin(0)=0, e também \sin^{3}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1 e \sin^{3}(0)=0, a expressão do Passo 7 reduz para
\text{Área} = \big(1-0\big) - \Big(1-\frac{1}{3}-0+0\Big) = 1 - \Big(1-\frac{1}{3}\Big) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}.Á
Pronto — obtenha calma, repita no rascunho da prova esse cálculo passo a passo se precisar.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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