Calcule a área da região delimitada pelas curvas:
e
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que ele pede, listando todas as informações relevantes:
- As curvas dadas são
e . - As retas verticais que limitam a região são
e . - A pergunta é: calcular a área da região limitada por essas quatro curvas (ou seja, a área entre as duas curvas no intervalo
). - Informações úteis (retiradas do enunciado e do conhecimento direto das funções):
- Em
vale e . - Em
vale e . - Para
tem-se , portanto nesse intervalo (porque elevar um número em ao cubo diminui seu valor).
- Em
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicada passo a passo, devagarzinho): para calcular áreas entre duas curvas que são funções comparáveis numa mesma variável
num intervalo
, usa-se a integral definida da função superior menos a função inferior. Em símbolos:
O motivo: a integral calcula soma de “retângulos infinitesimais” de altura igual à diferença vertical entre as curvas e largura
. Aqui o intervalo é
. Pelo que listamos no Passo 1, para
a função superior é
e a inferior é
. Logo devemos calcular a integral
Passo 3
Confirmação e justificativa de qual curva está acima da outra (não pule isso na prova!):
- Seja
. Para tem . - Se
então . Aplicando isso com obtemos . - Nos extremos
e as curvas se encontram (ambas valem em e em ), então a região é fechada entre as duas curvas nesses limites.
Portanto a integral do Passo 2 está corretamente montada.
Passo 4
Preparar a integral e separá-la em partes fáceis de calcular:
Vamos calcular cada integral separadamente. Lembre: integrar é encontrar a antiderivada (primitiva) e depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo avaliando nos limites.
Passo 5
Cálculo da primeira integral (simples):
Então
Passo 6
Cálculo da segunda integral usando redução de potência e substituição (explico cada passo):
- Primeiro escrevo
de uma forma útil:
- Assim a primitiva de
se escreve como primitiva de menos primitiva de . - Para integrar
uso a substituição . Então . - Com essa substituição:
- Logo, juntando tudo:
Passo 7
Agora retorno à área definida e aplico as primitivas nos limites
:
- Da Parte 5 temos
- Da Parte 6 temos
- Subtraindo as duas integrais conforme a fórmula da área:
Passo 8
Simplificação final (faça devagar):
- Sabendo que
e , e também e , a expressão do Passo 7 reduz para
Pronto — obtenha calma, repita no rascunho da prova esse cálculo passo a passo se precisar.