Calcule a area da regiao delimitada pelas curvas: y=x^wed>= 2 e y=4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região no plano limitada pelas curvas y = x^2 e y = 4. Isso é um problema de cálculo de área entre duas funções, e vamos usar a integral definida para isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas, ou seja, resolver x^2 = 4. Isso dá
x^2 = 4 Longrightarrow x = pm 2

Passo 3

Agora que sabemos que a região vai de x = -2 até x = 2, montamos a integral da diferença entre a função superior e a inferior. Aqui, y = 4 fica acima de y = x^2, então a área é
A = integral-2^2 l(4 - x^2r),dx

Passo 4

Vamos calcular essa integral. Primeiro, encontramos uma primitiva de 4 - x^2:
integral (4 - x^2),dx = 4x - x^33 + C
Agora avaliamos de -2 a 2:
A = l[4x - tfracx^33r]-2^2 = l(4cdot2 - tfrac2^33r) - l(4cdot(-2) - tfrac(-2)^33r)

Passo 5

Calculando cada parte:
4cdot2 - tfrac83 = 8 - tfrac83 = tfrac24 - 83 = tfrac163,
4cdot(-2) - tfrac-83 = -8 + tfrac83 = -tfrac24 - 83 = -tfrac163
Então a área fica
A = tfrac163 - l(-tfrac163r) = tfrac163 + tfrac163 = tfrac323

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é tfrac323.

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