(a) F(x, y, z)=(x, y, z) e o sólido W limitado pelas superfícies z=x^2+y^2 e z=4.
(b) F(x, y, z)=(z+1) k e o sólido W limitado pelas superfícies z=1-x^2-y^2 e z=0.

Passo 1

Temos vec F(x,y,z)=(x,y,z) e o sólido W limitado pelas superfícies z=x^2+y^2 e z=4. Queremos calcular o fluxo de vec F através da fronteira de W usando o teorema da divergência.

Passo 2

Calculamos a divergência de vec F. Como vec F=(x,y,z), temos
div,vec F = partial xpartial x + partial ypartial y + partial zpartial z = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 3

Pelo teorema da divergência:
integral duplapartial W vec F cdot dvec S = integral triplaW div,vec F ,dV = 3integral triplaW dV

Passo 4

Descrevemos W em coordenadas cilíndricas: x=rcostheta, y=rsintheta, z=z, com 0<= r<= 2, 0<=theta<= 2pi e r^2<= z<= 4. O elemento de volume é dV = r,dz,dr,dtheta.

Passo 5

Calculamos o volume de W:
integral triplaW dV = integral0^2pi integral0^2 integralr^2^4 r,dz,dr,dtheta
Como integralr^2^4dz = 4 - r^2, segue
integral triplaW dV = integral0^2pi integral0^2 r(4 - r^2)dr,dtheta = 2pi integral0^2(4r - r^3)dr

Passo 6

Continuando o cálculo:
2pi integral0^2(4r - r^3)dr = 2pi l[2r^2 - tfracr^44r]0^2 = 2pi(8 - 4) = 8pi

Passo 7

Portanto o fluxo em (a) é
3 times 8pi = 24pi

Passo 8

Agora (b): vec F(x,y,z)=(z+1),vec k e o sólido W limitado por z = 1 - x^2 - y^2 e z=0. De novo usamos o teorema da divergência.

Passo 9

Calculamos div,vec F. Como vec F=(0,0,z+1),
div,vec F = partialpartial x0 + partialpartial y0 + partialpartial z(z+1) = 1

Passo 10

Pelo teorema da divergência:
integral duplapartial W vec Fcdot dvec S = integral triplaW 1,dV = integral triplaW dV,ou seja, o fluxo é o volume de W.

Passo 11

Em cilíndricas: 0<= r<= 1, 0<=theta<= 2pi, 0<= z<= 1-r^2. Logo
integral triplaW dV = integral0^2pi integral0^1 integral0^1-r^2 r,dz,dr,dtheta
Como integral0^1-r^2dz = 1-r^2, temos
integral triplaW dV = 2pi integral0^1r(1-r^2)dr = 2pi integral0^1(r - r^3)dr

Passo 12

Calculando:
2pi l[tfracr^22 - tfracr^44r]0^1 = 2pi l(tfrac12 - tfrac14r) = 2pi times tfrac14 = tfracpi2

Passo 13

Portanto o fluxo em (b) é pi2.

Resposta

(a) 24pi; (b) tfracpi2

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