(a)
e o sólido
limitado pelas superfícies
e
.
(b)
e o sólido
limitado pelas superfícies
e
.
(b)
Passo 1
Temos
e o sólido
limitado pelas superfícies
e
. Queremos calcular o fluxo de
através da fronteira de
usando o teorema da divergência.
Passo 2
Calculamos a divergência de
. Como
, temos
Passo 3
Pelo teorema da divergência:
Passo 4
Descrevemos
em coordenadas cilíndricas:
,
,
, com
,
e
. O elemento de volume é
.
Passo 5
Calculamos o volume de
:
Como
Passo 6
Continuando o cálculo:
Passo 7
Portanto o fluxo em (a) é
Passo 8
Agora (b):
e o sólido
limitado por
e
. De novo usamos o teorema da divergência.
Passo 9
Calculamos
. Como
,
Passo 10
Pelo teorema da divergência:
Passo 11
Em cilíndricas:
,
,
. Logo
Como
Passo 12
Calculando:
Passo 13
Portanto o fluxo em (b) é
.
Resposta
(a)
; (b)