Calcule as integrais:
\int y^{2} \ln \left(6 y^{3}-2\right) d y

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a primitiva (integração indefinida)
\int y^{2}\ln\!\bigl(6y^{3}-2\bigr)\,dy.
Informações relevantes que vemos no integrando:
  • Há um fator polinomial y^{2}.
  • Há um logaritmo natural \ln(6y^{3}-2) cuja parte interna é 6y^{3}-2.
  • A derivada de 6y^{3}-2 é 18y^{2}, ou seja, é proporcional a y^{2}. Isso sugere que uma substituição do tipo u=6y^{3}-2 vai simplificar a integral.

Passo 2

Escolha da técnica: substituição simples (mudança de variável).
Motivo didático: quando dentro do logaritmo aparece uma função g(y) e fora aparece a derivada (ou algo proporcional) de g(y), a substituição u=g(y) transforma a integral numa integral mais simples em u. Aqui g(y)=6y^{3}-2 e g'(y)=18y^{2}, então faz sentido.
Definimos
u = 6y^{3}-2.

Passo 3

Calcular du e escrever y^{2}dy em função de du.
du = \frac{d}{dy}\bigl(6y^{3}-2\bigr)\,dy = 18y^{2}\,dy.
Logo
y^{2}\,dy = \frac{1}{18}\,du.

Passo 4

Substituir na integral original:
\int y^{2}\ln\!\bigl(6y^{3}-2\bigr)\,dy = \int \ln(u)\cdot\frac{1}{18}\,du = \frac{1}{18}\int \ln(u)\,du.
Agora restou a integral \int \ln(u)\,du. Vamos calcular isso usando integração por partes.

Passo 5

Integração por partes para \int \ln(u)\,du.
Regra (lembrando o porquê): integração por partes vem da fórmula \int A\,dB = AB - \int B\,dA. Para \int \ln(u)\,du escolhemos:
  • A=\ln(u) (para ser derivado),
  • dB=du (fácil de integrar).
Então
dA = \frac{1}{u}\,du,\qquad B = \int dB = \int du = u.
Aplicando a fórmula:
\int \ln(u)\,du = u\ln(u) - \int u\cdot\frac{1}{u}\,du = u\ln(u) - \int 1\,du = u\ln(u) - u + C.
Portanto, voltando ao fator \tfrac{1}{18}:
\frac{1}{18}\int \ln(u)\,du = \frac{1}{18}\bigl(u\ln(u) - u\bigr) + C.

Passo 6

Voltar para a variável y e simplificar as constantes.
Substituindo u=6y^{3}-2,
\frac{1}{18}\bigl(u\ln(u)-u\bigr)+C = \frac{1}{18}\bigl((6y^{3}-2)\ln\!\bigl(6y^{3}-2\bigr)-(6y^{3}-2)\bigr)+C.
Expandindo o termo linear e simplificando onde for conveniente:
\frac{1}{18}(6y^{3}-2)\ln\!\bigl(6y^{3}-2\bigr)-\frac{6y^{3}-2}{18}+C.
Como \dfrac{6y^{3}-2}{18}=\dfrac{y^{3}}{3}-\dfrac{1}{9} e a constante -\dfrac{1}{9} pode ser absorvida em C, uma forma mais enxuta da primitiva é
\frac{6y^{3}-2}{18}\,\ln\!\bigl(6y^{3}-2\bigr)-\frac{y^{3}}{3}+C.

Passo 7

Checagem rápida (opcional, mas útil): diferenciando a expressão obtida deve-se retornar ao integrando original. Diferenciando
F(y)=\frac{1}{18}(6y^{3}-2)\ln\!\bigl(6y^{3}-2\bigr)-\frac{y^{3}}{3}
usando regra do produto e cadeia, obtém-se F'(y)=y^{2}\ln\!\bigl(6y^{3}-2\bigr), confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\frac{6y^{3}-2}{18}\,\ln\!\bigl(6y^{3}-2\bigr)-\frac{y^{3}}{3}+C

Exercícios relacionados