Calcule as integrais:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular a primitiva (integração indefinida)
Informações relevantes que vemos no integrando:
- Há um fator polinomial
. - Há um logaritmo natural
cuja parte interna é . - A derivada de
é , ou seja, é proporcional a . Isso sugere que uma substituição do tipo vai simplificar a integral.
Passo 2
Escolha da técnica: substituição simples (mudança de variável).
Motivo didático: quando dentro do logaritmo aparece uma função e fora aparece a derivada (ou algo proporcional) de
, a substituição
transforma a integral numa integral mais simples em
. Aqui
e
, então faz sentido.
Motivo didático: quando dentro do logaritmo aparece uma função
Definimos
Passo 3
Calcular
e escrever
em função de
.
Logo
Passo 4
Substituir na integral original:
Agora restou a integral
. Vamos calcular isso usando integração por partes.
Passo 5
Integração por partes para
.
Regra (lembrando o porquê): integração por partes vem da fórmula
. Para
escolhemos:
-
(para ser derivado), -
(fácil de integrar).
Então
Aplicando a fórmula:
Portanto, voltando ao fator
:
Passo 6
Voltar para a variável
e simplificar as constantes.
Substituindo
,
Expandindo o termo linear e simplificando onde for conveniente:
Como
e a constante
pode ser absorvida em
, uma forma mais enxuta da primitiva é
Passo 7
Checagem rápida (opcional, mas útil): diferenciando a expressão obtida deve-se retornar ao integrando original. Diferenciando
usando regra do produto e cadeia, obtém-se
, confirmando que a primitiva está correta.