Calcule a área da região delimitada pelas curvas
y=-2 x+4 e y=-x^2+3 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região delimitada pelas curvas $ y = -2x + 4 $ e $ y = -x^{2} + 3x $. Isso envolve conceitos de Cálculo, especificamente integrais para encontrar áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar achar onde essas curvas se interceptam e depois calcular a integral que representa a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Isso significa igualar as duas equações e resolver para $ x $:
x
Vamos reorganizar tudo para um lado da equação:
-2x + 4 = -x^2 + 3x
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos tentar fatorar:
x^2 - 5x + 4 = 0
Então, as soluções são $ x = 1 $ e $ x = 4 $. Esses são os pontos onde as curvas se interceptam, e serão os limites de nossa integral.

Passo 3

Agora que temos os pontos de interseção, vamos identificar qual das funções está por cima da outra nesse intervalo. Vamos testar um valor entre 1 e 4, por exemplo, $ x = 2 $:
x = 2
y1 = -2(2) + 4 = 0
Como $ y_2 > y_1 $ no intervalo de integração, a função $ y = -x^{2} + 3x $ está acima de $ y = -2x + 4 $. A área entre as curvas será a integral da diferença entre essas funções de 1 a 4.

Passo 4

Vamos montar a integral para calcular a área:
Área = integral1^4 [ (-x^2 + 3x) - (-2x + 4) ] dx Á
Simplificando dentro da integral:
integral1^4 (-x^2 + 3x + 2x - 4) dx = integral1^4 (-x^2 + 5x - 4) dx
Agora, vamos integrar termo a termo:
integral (-x^2) dx = -x^33
integral 5x dx = 5x^22
integral (-4) dx = -4x
Então, a integral fica:
[ -x^33 + 5x^22 - 4x ]1^4
Agora, vamos calcular substituindo os limites:
Para $ x = 4 $:
x = 4
Para $ x = 1 $:
-4^33 + 5 cdot 4^22 - 4 cdot 4 = -643 + 802 - 16 = -643 + 40 - 16 = -643 + 24 = -64 + 723 = 83
Subtraindo o valor de $ x = 1 $ do valor de $ x = 4 $:
x = 1

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é $ \frac{9}{2} $ unidades quadradas.

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