Calcule a área da região delimitada pelas curvas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região delimitada pelas curvas $ y = -2x + 4 $ e $ y = -x^{2} + 3x $. Isso envolve conceitos de Cálculo, especificamente integrais para encontrar áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar achar onde essas curvas se interceptam e depois calcular a integral que representa a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Isso significa igualar as duas equações e resolver para $ x $:
Vamos reorganizar tudo para um lado da equação:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos tentar fatorar:
Então, as soluções são $ x = 1 $ e $ x = 4 $. Esses são os pontos onde as curvas se interceptam, e serão os limites de nossa integral.
Passo 3
Agora que temos os pontos de interseção, vamos identificar qual das funções está por cima da outra nesse intervalo. Vamos testar um valor entre 1 e 4, por exemplo, $ x = 2 $:
Como $ y_2 > y_1 $ no intervalo de integração, a função $ y = -x^{2} + 3x $ está acima de $ y = -2x + 4 $. A área entre as curvas será a integral da diferença entre essas funções de 1 a 4.
Passo 4
Vamos montar a integral para calcular a área:
Simplificando dentro da integral:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Agora, vamos calcular substituindo os limites:
Para $ x = 4 $:
Para $ x = 4 $:
Para $ x = 1 $:
Subtraindo o valor de $ x = 1 $ do valor de $ x = 4 $:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é $ \frac{9}{2} $ unidades quadradas.