Resolva as equações diferenciais lineares por fator de integração:
3 d yd x=y+e^x

Passo 1

Estamos com a equação diferencial
3dydx=y+e^x
que é uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator de integração.

Passo 2

Primeiro, dividimos tudo por 3 para colocar na forma padrão y'+P(x)y=Q(x):
dydx-13y=13e^x
Aqui identificamos
P(x)=-tfrac13 e Q(x)=tfrac13e^x.

Passo 3

Calculamos o fator de integração mu(x) via
mu(x)=expl(integral P(x),dxr)=expl(integral -tfrac13,dxr)=e^-x/3

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=e^-x/3. O lado esquerdo vira a derivada de y,e^-x/3:
e^-x/3dydx-tfrac13e^-x/3y=tfrac13e^-x/3e^x
ddxl(y,e^-x/3r)=tfrac13e^2x/3

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(y,e^-x/3r)dx=integral tfrac13e^2x/3dx
No lado direito, usamos substituição u=2x/3, de modo que
integral tfrac13e^2x/3dx=tfrac13cdot32e^2x/3+C=tfrac12e^2x/3+C

Passo 6

Voltando a y, temos
y,e^-x/3=tfrac12e^2x/3+C
Isolando y, obtemos a solução geral.

Resposta

y=tfrac12e^x+C,e^x/3

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