Calcule a integral indefinida utilizando frações parciais:
integral 3 x+5x^2+2 x-3 d x

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular a integral indefinida integral 3x+5x^2+2x-3,dx usando frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador, decompor em frações simples e integrar termo a termo.

Passo 2

Fatorar o denominador:
x^2+2x-3=(x-1)(x+3)

Passo 3

Escrever a decomposição em frações parciais:
3x+5(x-1)(x+3)=Ax-1+Bx+3

Passo 4

Multiplicar por (x-1)(x+3) e igualar coeficientes em x:
3x+5=A(x+3)+B(x-1)
Dos termos em x vem A+B=3 e dos termos constantes vem 3A-B=5. Resolvendo o sistema, obtemos A=2 e B=1.

Passo 5

Substituir os valores de A e B na integral:
integral 3x+5x^2+2x-3,dx=integrall(2x-1+1x+3r),dx

Passo 6

Integrar cada termo usando integral1x-a,dx=ln|x-a|+C:
2integral1x-1,dx+integral1x+3,dx=2ln|x-1|+ln|x+3|+C

Resposta

2ln|x-1|+ln|x+3|+C

Exercícios relacionados