Calcule as integrais:
1
\int_{-1}^{1} x \sqrt{1-x^{4}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{-1}^{1} x \sqrt{1-x^{4}}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \;x\sqrt{1-x^{4}}\; definido para -1\le x\le 1 (pois \;1-x^{4}\ge0\; nesse intervalo).
  • O intervalo de integração é simétrico em torno de zero: [-1,1].
    A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral?

Passo 2

Vou analisar a função integranda quanto à paridade (se é par ou ímpar), porque isso é muito útil em integrais sobre intervalos simétricos.
Definição (explicada de forma simples):
  • Uma função f é par se, para todo x do domínio, vale f(-x)=f(x).
  • Uma função f é ímpar se, para todo x do domínio, vale f(-x)=-f(x).
Se uma função é ímpar, então a sua integral num intervalo simétrico [-a,a] costuma ser zero — eu mostro isso no próximo passo.

Passo 3

Vamos testar a paridade da função f(x)=x\sqrt{1-x^{4}}.
Calcule f(-x):
f(-x)=(-x)\sqrt{1-(-x)^{4}}.
Como (-x)^{4}=x^{4}, temos
f(-x)=(-x)\sqrt{1-x^{4}}=-\bigl(x\sqrt{1-x^{4}}\bigr)=-f(x).
Portanto f(-x)=-f(x) para todo x\in[-1,1], logo f é uma função ímpar.

Passo 4

Propriedade útil (e simples de provar): se f é ímpar e integrável em [-a,a], então
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0.
Prova curta (substituição): escrevendo a integral como soma das metades,
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=\int_{-a}^{0} f(x)\,dx+\int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Fazendo a substituição u=-x na primeira integral obtém-se
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{a}^{0} f(-u)(-du) = \int_{0}^{a} f(-u)\,du.
Como f é ímpar, f(-u)=-f(u), então
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{0}^{a} -f(u)\,du = -\int_{0}^{a} f(u)\,du.
Assim as duas metades se cancelam e a integral total é zero:
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = -\int_{0}^{a} f(u)\,du + \int_{0}^{a} f(u)\,du = 0.

Passo 5

Aplicando a propriedade ao nosso caso: já mostrei que f(x)=x\sqrt{1-x^{4}} é ímpar e que o intervalo é [-1,1], que é simétrico. Assim
\int_{-1}^{1} x\sqrt{1-x^{4}}\,dx = 0.

Resposta

0

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