Calcule as integrais:
1
1
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas:
- O integrando é
definido para (pois nesse intervalo). - O intervalo de integração é simétrico em torno de zero:
.
A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral?
Passo 2
Vou analisar a função integranda quanto à paridade (se é par ou ímpar), porque isso é muito útil em integrais sobre intervalos simétricos.
Definição (explicada de forma simples):
- Uma função
é par se, para todo do domínio, vale . - Uma função
é ímpar se, para todo do domínio, vale .
Se uma função é ímpar, então a sua integral num intervalo simétrico
costuma ser zero — eu mostro isso no próximo passo.
Passo 3
Vamos testar a paridade da função
.
Calcule
:
Como
, temos
Portanto
para todo
, logo
é uma função ímpar.
Passo 4
Propriedade útil (e simples de provar): se
é ímpar e integrável em
, então
Prova curta (substituição): escrevendo a integral como soma das metades,
Fazendo a substituição
na primeira integral obtém-se
Como
é ímpar,
, então
Assim as duas metades se cancelam e a integral total é zero:
Passo 5
Aplicando a propriedade ao nosso caso: já mostrei que
é ímpar e que o intervalo é
, que é simétrico. Assim
Resposta
0