Calcule as integrais:
1
\int \operatorname{tg}(5 y) d y

Passo 1

O que o enunciado dá e pede: calcular a integral indefinida
\int \operatorname{tg}(5y)\,dy.
Ou seja: encontrar uma função F(y) tal que F'(y)=\operatorname{tg}(5y). No fim devemos acrescentar a constante de integração C.

Passo 2

Lembrete útil (fórmula que vamos usar): a função tangente pode ser escrita como razão seno sobre cosseno,
\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}.
Também precisamos da derivada da função cosseno: a derivada de \cos t é -\sin t. Essas duas ideias juntas sugerem a substituição u=\cos(\cdot), porque o diferencial de \cos envolve \sin, o que aparece na tangente.

Passo 3

Aplicar a identidade e preparar a substituição:
\int \operatorname{tg}(5y)\,dy = \int \frac{\sin(5y)}{\cos(5y)}\,dy.
Agora faça a substituição
u=\cos(5y).
Calcule o diferencial du. Como \frac{d}{dy}\cos(5y)=-5\sin(5y), tem-se
du = -5\sin(5y)\,dy.
Isolando \sin(5y)\,dy obtemos
\sin(5y)\,dy = -\frac{1}{5}\,du.

Passo 4

Substitua na integral:
\int \frac{\sin(5y)}{\cos(5y)}\,dy = \int \frac{1}{u}\left(-\frac{1}{5}\,du\right) = -\frac{1}{5}\int \frac{du}{u}.
A integral de 1/u é o logaritmo natural. Lembre que usamos valor absoluto dentro do logaritmo porque u pode ser negativo:
-\frac{1}{5}\int \frac{du}{u} = -\frac{1}{5}\ln|u| + C.

Passo 5

Volte à variável original substituindo u=\cos(5y):
-\frac{1}{5}\ln|u| + C = -\frac{1}{5}\ln\bigl|\cos(5y)\bigr| + C.
Esse é o resultado final. Comentário curto: alternativamente poderia ter feito a substituição t=5y (logo dt=5\,dy) para obter \frac{1}{5}\int \tan t\,dt, o que leva ao mesmo resultado.

Resposta

-\dfrac{1}{5}\ln\bigl|\cos(5y)\bigr|+C

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