Calcule as integrais:
1 \int \operatorname{tg}(5 y) d y
Passo 1
O que o enunciado dá e pede: calcular a integral indefinida
\int \operatorname{tg}(5y)\,dy.
Ou seja: encontrar uma função F(y) tal que F'(y)=\operatorname{tg}(5y). No fim devemos acrescentar a constante de integração C.
Passo 2
Lembrete útil (fórmula que vamos usar): a função tangente pode ser escrita como razão seno sobre cosseno,
\operatorname{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t}.
Também precisamos da derivada da função cosseno: a derivada de \cos t é -\sin t. Essas duas ideias juntas sugerem a substituição u=\cos(\cdot), porque o diferencial de \cos envolve \sin, o que aparece na tangente.
A integral de 1/u é o logaritmo natural. Lembre que usamos valor absoluto dentro do logaritmo porque u pode ser negativo:
-\frac{1}{5}\int \frac{du}{u} = -\frac{1}{5}\ln|u| + C.
Passo 5
Volte à variável original substituindo u=\cos(5y):
-\frac{1}{5}\ln|u| + C = -\frac{1}{5}\ln\bigl|\cos(5y)\bigr| + C.
Esse é o resultado final. Comentário curto: alternativamente poderia ter feito a substituição t=5y (logo dt=5\,dy) para obter \frac{1}{5}\int \tan t\,dt, o que leva ao mesmo resultado.