(a) Calcule a área da região delimitada pelo gráfico da função , pelo eixo- e pelas retas e . Não precisa usar somas de Riemann.
(b) Calcule a integral .
(c) Usando Somas de Riemann, calcule .
Passo 1
O enunciado trata de três tarefas envolvendo a função :
– (a) calcular a área da região limitada por , pelo eixo e pelas retas e ,
– (b) calcular a integral definida ,
– (c) usar somas de Riemann para obter .
Para (a) vamos usar geometria e dividir em parte positiva e negativa de ; para (b) o Teorema Fundamental do Cálculo; para (c) definimos uma partição uniforme e fazemos o limite da soma.
Passo 2
A zero de ocorre em . Em , para e para . A área pedida é
Para integral0^2(x-2),dx por somas de Riemann, dividimos [0,2] em n subintervalos de comprimento De<a x=tfrac2n e usamos os pontos direitos xi=tfrac2in. Então
Sn=sumi=1^nl(xi-2r)De<a x =sumi=1^nl(tfrac2in-2r)cdottfrac2n =4n^2sumi=1^n i-4nsumi=1^n1 =4n^2cdotn(n+1)2-4nn