1. (a) Calcule a área da região delimitada pelo gráfico da função f(x)= x-2, pelo eixo- x e pelas retas x=1 e x=5. Não precisa usar somas de Riemann.
    (b) Calcule a integral integral1^5(x-2) d x.
    (c) Usando Somas de Riemann, calcule integral0^2(x-2) d x.

Passo 1

O enunciado trata de três tarefas envolvendo a função f(x)=x-2:
– (a) calcular a área da região limitada por y=f(x), pelo eixo x e pelas retas x=1 e x=5,
– (b) calcular a integral definida integral1^5(x-2),dx,
– (c) usar somas de Riemann para obter integral0^2(x-2),dx.
Para (a) vamos usar geometria e dividir em parte positiva e negativa de f; para (b) o Teorema Fundamental do Cálculo; para (c) definimos uma partição uniforme e fazemos o limite da soma.

Passo 2

A zero de f ocorre em x-2=0implies x=2. Em [1,5], f(x)<=0 para 1<= x<=2 e f(x)>=0 para 2<= x<=5. A área pedida é
integral1^2l|x-2r|,dx+integral2^5l|x-2r|,dx =integral1^2(2-x),dx+integral2^5(x-2),dx
Calculemos cada uma:
integral1^2(2-x),dx =l[2x-tfracx^22r]1^2 =(4-2)-(2-tfrac12)=2-1,5=0,5,
integral2^5(x-2),dx =l[tfrac(x-2)^22r]2^5 =tfrac92-0=4,5
Logo a área total é 0,5+4,5=5.

Passo 3

Para integral1^5(x-2),dx aplicamos diretamente o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral1^5(x-2),dx =l[tfracx^22-2xr]1^5 =l(tfrac252-10r)-l(tfrac12-2r) =tfrac52-(-tfrac32)=4

Passo 4

Para integral0^2(x-2),dx por somas de Riemann, dividimos [0,2] em n subintervalos de comprimento De<a x=tfrac2n e usamos os pontos direitos xi=tfrac2in. Então
Sn=sumi=1^nl(xi-2r)De<a x =sumi=1^nl(tfrac2in-2r)cdottfrac2n =4n^2sumi=1^n i-4nsumi=1^n1 =4n^2cdotn(n+1)2-4nn
=2(n+1)n-4 =2+2n-4=-2+2n
Fazendo ntoinfty vem integral0^2(x-2),dx=limntoinftySn=-2.

Resposta

(a) 5
(b) 4
(c) -2

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