O enunciado dá duas parábolas e pede a área da região limitada por elas. Informações relevantes fornecidas:
As curvas são y=1+x^{2} e y=2x^{2}.
A tarefa é calcular a área da região comum delimitada por essas duas curvas.
Vou usar integrais duplas para obter a área e depois comparar com o modo “clássico” usando integral simples (diferença entre as curvas).
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção e qual curva é a superior em cada intervalo de x.
Igualamos as duas expressões para achar as interseções:
1+x^{2}=2x^{2}.
Isolando x^{2}:
1 = x^{2}\quad\Rightarrow\quad x=\pm 1.
No ponto de interseção correspondente o valor de y é, por exemplo,
y=2x^{2}=2\cdot 1^{2}=2.
Portanto as interseções são (-1,2) e (1,2).
Agora decidimos qual curva fica por cima entre essas abscissas. Subtraindo:
(1+x^{2})-(2x^{2})=1-x^{2}.
Para -1<x<1 temos 1-x^{2}>0, logo 1+x^{2}>2x^{2}. Assim, no intervalo x\in[-1,1] a curva superior é y=1+x^{2} e a inferior é y=2x^{2}. Logo a região procurada corresponde a x variando de -1 a 1 e, para cada x, y variando de 2x^{2} até 1+x^{2}.
Passo 3
Área por integrais duplas (abordagem por fatias verticais).
Princípio: a área de uma região R no plano pode ser escrita como
\text{Área}(R)=\iint_{R} 1\,dA,
ou seja, integrar a função constante 1 sobre a região. Para integrar por fatias verticais (primeiro em y, depois em x), usamos os limites encontrados no Passo 2:
que é a mesma integral que apareceu ao avaliar a integral dupla iterada. Logo os dois métodos são consistentes e dão o mesmo resultado \dfrac{4}{3}. Observação prática: a integral dupla com dy\,dx aqui “colapsa” naturalmente para a integral simples porque a região é fácil de descrever em função de x.
Passo 5
Breve observação: tentar integrar na ordem dx\,dy (fatias horizontais) dá mais trabalho e exige dividir em dois intervalos em y, mas também leva ao mesmo resultado.
Resumo rápido do que ocorreria: para y\in[0,1] a seção horizontal é um único intervalo em x dado por |x|\le \sqrt{y/2}; para y\in[1,2] a seção horizontal é a união de dois intervalos simétricos \sqrt{y-1}\le |x|\le \sqrt{y/2}. Montando as integrais por partes e calculando-as (passos algébricos omitidos aqui por concisão), o resultado final também simplifica para \dfrac{4}{3}. Conclusão prática: escolha a ordem de integração que torna os limites mais simples — aqui dy\,dx (ou simplesmente a integral simples em x) é a escolha fácil.