Calcule a área da região delimitada pelas parábolas (utilize integrais duplas e compare com o modo como você fazia utilizando integral simples):
\begin{gathered}y=1+x^{2} \y=2 x^{2}\end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá duas parábolas e pede a área da região limitada por elas. Informações relevantes fornecidas:
  • As curvas são y=1+x^{2} e y=2x^{2}.
  • A tarefa é calcular a área da região comum delimitada por essas duas curvas.
  • Vou usar integrais duplas para obter a área e depois comparar com o modo “clássico” usando integral simples (diferença entre as curvas).

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção e qual curva é a superior em cada intervalo de x.
Igualamos as duas expressões para achar as interseções:
1+x^{2}=2x^{2}.
Isolando x^{2}:
1 = x^{2}\quad\Rightarrow\quad x=\pm 1.
No ponto de interseção correspondente o valor de y é, por exemplo,
y=2x^{2}=2\cdot 1^{2}=2.
Portanto as interseções são (-1,2) e (1,2).
Agora decidimos qual curva fica por cima entre essas abscissas. Subtraindo:
(1+x^{2})-(2x^{2})=1-x^{2}.
Para -1<x<1 temos 1-x^{2}>0, logo 1+x^{2}>2x^{2}. Assim, no intervalo x\in[-1,1] a curva superior é y=1+x^{2} e a inferior é y=2x^{2}. Logo a região procurada corresponde a x variando de -1 a 1 e, para cada x, y variando de 2x^{2} até 1+x^{2}.

Passo 3

Área por integrais duplas (abordagem por fatias verticais).
Princípio: a área de uma região R no plano pode ser escrita como
\text{Área}(R)=\iint_{R} 1\,dA,Á
ou seja, integrar a função constante 1 sobre a região. Para integrar por fatias verticais (primeiro em y, depois em x), usamos os limites encontrados no Passo 2:
\text{Área}=\int_{x=-1}^{1}\left(\int_{y=2x^{2}}^{1+x^{2}} 1\,dy\right)dx.Á
Avaliamo-la passo a passo. A integral interna em y dá o comprimento vertical da fatia para um x fixo:
\int_{y=2x^{2}}^{1+x^{2}} 1\,dy = \bigl[y\bigr]_{y=2x^{2}}^{y=1+x^{2}} = (1+x^{2})-(2x^{2}) = 1-x^{2}.
Então a integral reduz-se a uma integral simples em x:
\text{Área}=\int_{-1}^{1} (1-x^{2})\,dx.Á
Explico a antiderivada usada: para polinômios, \int 1\,dx = x e \int x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3}. Assim
\int_{-1}^{1} (1-x^{2})\,dx = \left[x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}.
Calculemos os valores nas bordas:
\left.\left(x-\frac{x^{3}}{3}\right)\right|_{x=1} = 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}, \qquad \left.\left(x-\frac{x^{3}}{3}\right)\right|_{x=-1} = -1 -\left(-\frac{1}{3}\right) = -1+\frac{1}{3} = -\frac{2}{3}.
Subtraindo:
\frac{2}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3}.
Portanto, usando a integral dupla com ordem dy\,dx encontramos
\text{Área}=\frac{4}{3}.Á

Passo 4

Comparação com o método “clássico” de integral simples (o que você provavelmente usava).
O método usual para área entre curvas é usar fatias verticais e integrar a diferença entre a curva superior e a inferior:
\text{Área}=\int_{x=a}^{b} \bigl(\text{superior}(x)-\text{inferior}(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui já identificamos a=-1, b=1, \text{superior}(x)=1+x^{2} e \text{inferior}(x)=2x^{2}. Então a integral é exatamente
\int_{-1}^{1}\bigl((1+x^{2})-(2x^{2})\bigr)dx=\int_{-1}^{1}(1-x^{2})\,dx,
que é a mesma integral que apareceu ao avaliar a integral dupla iterada. Logo os dois métodos são consistentes e dão o mesmo resultado \dfrac{4}{3}. Observação prática: a integral dupla com dy\,dx aqui “colapsa” naturalmente para a integral simples porque a região é fácil de descrever em função de x.

Passo 5

Breve observação: tentar integrar na ordem dx\,dy (fatias horizontais) dá mais trabalho e exige dividir em dois intervalos em y, mas também leva ao mesmo resultado.
Resumo rápido do que ocorreria: para y\in[0,1] a seção horizontal é um único intervalo em x dado por |x|\le \sqrt{y/2}; para y\in[1,2] a seção horizontal é a união de dois intervalos simétricos \sqrt{y-1}\le |x|\le \sqrt{y/2}. Montando as integrais por partes e calculando-as (passos algébricos omitidos aqui por concisão), o resultado final também simplifica para \dfrac{4}{3}. Conclusão prática: escolha a ordem de integração que torna os limites mais simples — aqui dy\,dx (ou simplesmente a integral simples em x) é a escolha fácil.

Resposta

\dfrac{4}{3}

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