Calcule a integral da função f(x, y)=\frac{x}{y} sobre a região no primeiro quadrante limitada pelas retas y=x, y=2 x, x=1 e x=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla da função f(x,y)=\dfrac{x}{y} sobre a região do primeiro quadrante limitada pelas retas y=x, y=2x, x=1 e x=2.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função a integrar é f(x,y)=\dfrac{x}{y}.
  • A região está no primeiro quadrante (logo x>0, y>0).
  • As fronteiras da região são as retas:
    • y=x (reta que passa pela origem com inclinação 1),
    • y=2x (reta que passa pela origem com inclinação 2),
    • x=1 (vertical),
    • x=2 (vertical).
  • O enunciado pede o valor numérico da integral dupla sobre essa região.

Passo 2

Descrever a região e escolher a ordem de integração.
A região R é formada pelos pontos (x,y) tais que:
  • x varia entre as retas verticais x=1 e x=2, ou seja 1\le x\le 2;
  • para cada x fixo nessa faixa, y fica entre as retas y=x (embaixo) e y=2x (em cima), ou seja x\le y\le 2x.
Portanto uma descrição conveniente é
R=\{(x,y)\mid 1\le x\le 2,\; x\le y\le 2x\}.
Com essa descrição, a integral dupla fica naturalmente como uma integral iterada com y interno e x externo:
\iint_{R}\frac{x}{y}\,dA=\int_{x=1}^{2}\left(\int_{y=x}^{2x}\frac{x}{y}\,dy\right)dx.

Passo 3

Explicar como integrar em relação a y mantendo x fixo.
Dentro da integral interna, x é tratado como constante (porque a integração é em y). Temos a primitiva em y da função \dfrac{x}{y}:
\int \frac{x}{y}\,dy = x\int \frac{1}{y}\,dy = x\ln|y| + C.
Aqui usei que a primitiva de \dfrac{1}{y} é \ln|y|. Como estamos no primeiro quadrante ( y>0), podemos trocar \ln|y| por \ln y.
Aplicando os limites y=x e y=2x à primitiva:
\int_{y=x}^{2x}\frac{x}{y}\,dy = x\big(\ln(2x)-\ln x\big).

Passo 4

Simplificar a diferença de logaritmos usando propriedades de log.
Usamos a propriedade dos logaritmos \ln(a)-\ln(b)=\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right). Assim
x\big(\ln(2x)-\ln x\big) = x\ln\!\left(\frac{2x}{x}\right) = x\ln 2.
Observe que a dependência em x dentro do log cancelou, restando apenas x\ln 2.

Passo 5

Agora integrar em relação a x a expressão obtida.
Substituindo o resultado da integral interna na integral externa:
\iint_{R}\frac{x}{y}\,dA = \int_{1}^{2} x\ln 2\, dx.
Como \ln 2 é constante, podemos tirá-la fora da integral:
\int_{1}^{2} x\ln 2\, dx = \ln 2 \int_{1}^{2} x\, dx.
A primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}, então
\int_{1}^{2} x\, dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{1}^{2} = \frac{2^{2}}{2}-\frac{1^{2}}{2} = \frac{4}{2}-\frac{1}{2} = \frac{3}{2}.

Passo 6

Combinar os resultados para obter a integral final.
Multiplicando pelo fator \ln 2 que tiramos fora:
\iint_{R}\frac{x}{y}\,dA = \ln 2 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}\ln 2.

Resposta

\dfrac{3}{2}\ln 2

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