Calcule a integral da função f(x, y)=\frac{x}{y} sobre a região no primeiro quadrante limitada pelas retas y=x, y=2 x, x=1 e x=2.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla da função f(x,y)=\dfrac{x}{y} sobre a região do primeiro quadrante limitada pelas retas y=x, y=2x, x=1 e x=2.
Informações relevantes do enunciado:
A função a integrar é f(x,y)=\dfrac{x}{y}.
A região está no primeiro quadrante (logo x>0, y>0).
As fronteiras da região são as retas:
y=x (reta que passa pela origem com inclinação 1),
y=2x (reta que passa pela origem com inclinação 2),
x=1 (vertical),
x=2 (vertical).
O enunciado pede o valor numérico da integral dupla sobre essa região.
Passo 2
Descrever a região e escolher a ordem de integração.
A região R é formada pelos pontos (x,y) tais que:
x varia entre as retas verticais x=1 e x=2, ou seja 1\le x\le 2;
para cada x fixo nessa faixa, y fica entre as retas y=x (embaixo) e y=2x (em cima), ou seja x\le y\le 2x.
Portanto uma descrição conveniente é
R=\{(x,y)\mid 1\le x\le 2,\; x\le y\le 2x\}.
Com essa descrição, a integral dupla fica naturalmente como uma integral iterada com y interno e x externo: