Exemplo 01: Calcule as seguintes integrais sobre as seguintes regiões indicadas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é o retângulo
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - O domínio de integração é
. - A pergunta é: calcular o valor numérico de
.
Passo 2
Estratégia e ferramentas (explicação didática):
- Para integrais duplas sobre um retângulo, pode-se usar o Teorema de Fubini: a integral dupla pode ser calculada como uma integral iterada. Por exemplo,
Aqui
e
são as variáveis cartesianas; no cálculo da integral interna em
,
é tratado como constante, e vice-versa.
- A integral é linear, então podemos separar termos:
Vou calcular cada uma dessas integrais separadamente e depois somar (subtrair) os resultados.
Passo 3
Cálculo de
. Usando integral iterada:
Dentro da integral interna
é constante em relação a
, então
Agora integrar em
:
Calcule a primitiva de
:
. Assim
Compute os quadrados:
e
. Então
Portanto
Passo 4
Cálculo de
. Novamente, usar integral iterada:
Aqui
é tratado como constante na integral interna, e a integral interna depende só de
:
Agora integrar em
:
Portanto
Passo 5
Combinar os resultados (lembre do sinal negativo do segundo termo):
Interpretação rápida: a parte dependente de
contribuiu com
e a parte dependente de
contribuiu com
(com sinal negativo no integrando), resultando em
. Você fez tudo certinho seguindo a ideia de separar termos e integrar por partes!