Exemplo 01: Calcule as seguintes integrais sobre as seguintes regiões indicadas.
\iint_{R}\left(2 x-4 y^{3}\right) d A, \quad R=[-5,4] \times[0,3]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\left(2x-4y^{3}\right)\,dA,
onde a região R é o retângulo \,[-5,4]\times[0,3]\,.
Informações dadas:
  • A função a integrar é f(x,y)=2x-4y^{3}.
  • O domínio de integração é R=\{(x,y)\mid -5\le x\le4,\;0\le y\le3\}.
  • A pergunta é: calcular o valor numérico de \iint_{R}(2x-4y^{3})\,dA.

Passo 2

Estratégia e ferramentas (explicação didática):
  • Para integrais duplas sobre um retângulo, pode-se usar o Teorema de Fubini: a integral dupla pode ser calculada como uma integral iterada. Por exemplo,
\iint_{R} f(x,y)\,dA=\int_{x=-5}^{4}\left(\int_{y=0}^{3} f(x,y)\,dy\right)dx.
Aqui x e y são as variáveis cartesianas; no cálculo da integral interna em y, x é tratado como constante, e vice-versa.
  • A integral é linear, então podemos separar termos:
\iint_{R}(2x-4y^{3})\,dA=\iint_{R}2x\,dA-\iint_{R}4y^{3}\,dA.
Vou calcular cada uma dessas integrais separadamente e depois somar (subtrair) os resultados.

Passo 3

Cálculo de \iint_{R}2x\,dA. Usando integral iterada:
\iint_{R}2x\,dA=\int_{x=-5}^{4}\left(\int_{y=0}^{3}2x\,dy\right)dx.
Dentro da integral interna 2x é constante em relação a y, então
\int_{y=0}^{3}2x\,dy=2x\cdot\bigl[y\bigr]_{0}^{3}=2x\cdot(3-0)=6x.
Agora integrar em x:
\int_{x=-5}^{4}6x\,dx=6\int_{-5}^{4}x\,dx.
Calcule a primitiva de x: \int x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}. Assim
6\int_{-5}^{4}x\,dx=6\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{-5}^{4}=6\left(\dfrac{4^{2}}{2}-\dfrac{(-5)^{2}}{2}\right).
Compute os quadrados: 4^{2}=16 e (-5)^{2}=25. Então
6\left(\dfrac{16}{2}-\dfrac{25}{2}\right)=6\left(\dfrac{16-25}{2}\right)=6\left(\dfrac{-9}{2}\right)=6\cdot(-4{,}5)=-27.
Portanto \displaystyle \iint_{R}2x\,dA=-27.

Passo 4

Cálculo de \iint_{R}4y^{3}\,dA. Novamente, usar integral iterada:
\iint_{R}4y^{3}\,dA=\int_{x=-5}^{4}\left(\int_{y=0}^{3}4y^{3}\,dy\right)dx.
Aqui x é tratado como constante na integral interna, e a integral interna depende só de y:
\int_{y=0}^{3}4y^{3}\,dy=\bigl[y^{4}\bigr]_{0}^{3}=3^{4}-0^{4}=81.
Agora integrar em x:
\int_{x=-5}^{4}81\,dx=81\cdot\bigl[x\bigr]_{-5}^{4}=81\cdot(4-(-5))=81\cdot9=729.
Portanto \displaystyle \iint_{R}4y^{3}\,dA=729.

Passo 5

Combinar os resultados (lembre do sinal negativo do segundo termo):
\iint_{R}(2x-4y^{3})\,dA=\iint_{R}2x\,dA-\iint_{R}4y^{3}\,dA = -27-729 = -756.
Interpretação rápida: a parte dependente de x contribuiu com -27 e a parte dependente de y contribuiu com 729 (com sinal negativo no integrando), resultando em -756. Você fez tudo certinho seguindo a ideia de separar termos e integrar por partes!

Resposta

-756

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