- Estude:
Passo 1
O enunciado pede estudar o seguinte limite quando
se aproxima de
:
Informações dadas:
- A função que aparece é
, definida para todos os pontos com (pois no ponto o denominador fica zero). - A pergunta é: esse limite existe? Se existir, qual é o seu valor?
Passo 2
Primeiro, observe sinais e domínio: para
temos
,
e
. Assim o quociente
é sempre maior ou igual a
. Isso é útil porque nos permite trabalhar com desigualdades (squeeze). Vamos achar uma desigualdade simples que controle essa expressão por algo que tende a
quando
.
Passo 3
Uma desigualdade clássica útil aqui é a que relaciona
com
. Ela vem de
e de
. De fato:
Combinando as duas obtemos
ou seja
Passo 4
Elevando ao quadrado a desigualdade anterior (todas as quantidades são não negativas), obtemos
Agora dividimos ambos os lados por
(lembrando que para
esse denominador é positivo) para relacionar diretamente com nossa função:
Como a função original é não negativa, temos também
Passo 5
Agora usamos o fato de que
quando
. De fato, se
for dado, basta escolher
pois se
então
Pela desigualdade encontrada no passo anterior e pelo princípio do “teorema do confronto” (squeeze theorem), temos que a quantidade encaixada entre
e
também tende a
. Logo o limite da função original é
.
Passo 6
Como comentário extra (método alternativo e intuitivo): em coordenadas polares
temos
Como
para todo
, obtemos
e como
quando
, novamente a expressão tende a
. Esta é só outra forma de ver a mesma ideia.
Resposta
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