1. Estude:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede estudar o seguinte limite quando (x,y) se aproxima de (0,0):
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas:
  • A função que aparece é \displaystyle f(x,y)=\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, definida para todos os pontos com (x,y)\neq(0,0) (pois no ponto (0,0) o denominador fica zero).
  • A pergunta é: esse limite existe? Se existir, qual é o seu valor?

Passo 2

Primeiro, observe sinais e domínio: para (x,y)\neq(0,0) temos x^{2}\ge0, y^{2}\ge0 e x^{2}+y^{2}>0. Assim o quociente
\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
é sempre maior ou igual a 0. Isso é útil porque nos permite trabalhar com desigualdades (squeeze). Vamos achar uma desigualdade simples que controle essa expressão por algo que tende a 0 quando (x,y)\to(0,0).

Passo 3

Uma desigualdade clássica útil aqui é a que relaciona xy com x^{2}+y^{2}. Ela vem de (x-y)^{2}\ge0 e de (x+y)^{2}\ge0. De fato:
(x-y)^{2}\ge0 \implies x^{2}+y^{2}\ge2xy,
(x+y)^{2}\ge0 \implies x^{2}+y^{2}\ge-2xy.
Combinando as duas obtemos
-\,\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\le xy\le \frac{x^{2}+y^{2}}{2},
ou seja
|xy|\le \frac{x^{2}+y^{2}}{2}.

Passo 4

Elevando ao quadrado a desigualdade anterior (todas as quantidades são não negativas), obtemos
(xy)^{2}\le \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}.
Agora dividimos ambos os lados por x^{2}+y^{2} (lembrando que para (x,y)\neq(0,0) esse denominador é positivo) para relacionar diretamente com nossa função:
\frac{(xy)^{2}}{x^{2}+y^{2}}\le \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{4(x^{2}+y^{2})}=\frac{x^{2}+y^{2}}{4}.
Como a função original é não negativa, temos também
0\le \frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\le \frac{x^{2}+y^{2}}{4}.

Passo 5

Agora usamos o fato de que \displaystyle \frac{x^{2}+y^{2}}{4}\to 0 quando (x,y)\to(0,0). De fato, se \varepsilon>0 for dado, basta escolher
\delta=2\sqrt{\varepsilon},
pois se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então
\frac{x^{2}+y^{2}}{4}<\frac{\delta^{2}}{4}=\varepsilon.
Pela desigualdade encontrada no passo anterior e pelo princípio do “teorema do confronto” (squeeze theorem), temos que a quantidade encaixada entre 0 e \dfrac{x^{2}+y^{2}}{4} também tende a 0. Logo o limite da função original é 0.

Passo 6

Como comentário extra (método alternativo e intuitivo): em coordenadas polares \displaystyle x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta temos
\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{r^{4}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta}{r^{2}}=r^{2}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta.
Como \cos^{2}\theta\sin^{2}\theta\le\frac{1}{4} para todo \theta, obtemos
0\le \frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\le \frac{r^{2}}{4},
e como r\to0 quando (x,y)\to(0,0), novamente a expressão tende a 0. Esta é só outra forma de ver a mesma ideia.

Resposta

0

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