Calcule a área da região delimitada :
pelas retas y=-2-2 x, x-y=-1 e 7 x-y=17;

Passo 1

A questão pede para calcular a área da região triangular delimitada pelas retas y=-2-2x, x-y=-1 e 7x-y=17. O conteúdo aqui é geometria analítica (sistemas lineares e área de triângulo no plano). Para resolver, vamos achar os vértices da região obtendo as interseções dos pares de retas e depois aplicar a fórmula da área usando determinante de vetores.

Passo 2

Interseção entre y=-2-2x e x-y=-1. Da segunda reta temos y=x+1. Igualando com a primeira:
x+1=-2-2x
3x=-3
x=-1,
y=x+1=0
Logo o vértice é (-1,0).

Passo 3

Interseção entre x-y=-1 e 7x-y=17. De x-y=-1 vem y=x+1. Substituindo na terceira reta:
7x-(x+1)=17
6x=18
x=3,
y=3+1=4
Então o vértice é (3,4).

Passo 4

Interseção entre y=-2-2x e 7x-y=17. Substituindo y=-2-2x na terceira reta:
7x-(-2-2x)=17
9x+2=17
9x=15
x=tfrac53,
y=-2-2cdottfrac53=-2-tfrac103=-tfrac163
Assim o vértice é l(tfrac53,-tfrac163r).

Passo 5

Com os vértices A=(-1,0), B=(3,4) e C=(5/3,-16/3), usamos a fórmula da área do triângulo dada por
Área=12l|det[AB,AC]r| Á

Passo 6

Calculando os vetores: AB=(3-(-1),4-0)=(4,4) e AC=(tfrac53-(-1),-tfrac163-0)=(tfrac83,-tfrac163). O determinante é
det4 & tfrac83[4pt]4 & -tfrac163 =4cdotl(-tfrac163r)-4cdotl(tfrac83r) =-tfrac643-tfrac323 =-tfrac963=-32
Logo
Área=tfrac12l|-32r|=16 Á

Resposta

16

Exercícios relacionados