Calcule a derivada da seguinte função:
f(t)=e^t / 2(t^2+5 t)

Passo 1

No enunciado, a função é f(t)=e^t/2(t^2+5t). O conteúdo envolve derivada de produto e derivada de função composta (cadeia). Vamos usar a regra do produto e, para a parte exponencial, a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos u(t)=e^t/2 e v(t)=t^2+5t. Para u(t), aplicamos a regra da cadeia: derivada do expoente t/2 é 1/2, então u'(t)=tfrac12e^t/2. Para v(t), derivada de t^2+5t é v'(t)=2t+5.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto: f'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t). Substituindo, temos f'(t)=tfrac12e^t/2(t^2+5t)+e^t/2(2t+5).

Passo 4

Fatorando e^t/2 e simplificando dentro dos colchetes, obtemos .

Resposta

f'(t)=e^t/2l(tfract^22+tfrac9t2+5r)

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