Calcule a área da região delimitada pelas seguintes curvas:
y=raiz5+x, y=0, x=0, x=2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos calcular a área da região delimitada pelas curvas $ y = \sqrt{5} + x $, $ y = 0 $ (que é o eixo x), $ x = 0 $ e $ x = 2 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais.

Passo 2

Identificar os limites de integração. As linhas verticais $ x = 0 $ e $ x = 2 $ nos dizem que vamos calcular a área entre esses valores de $ x $. Então, nossos limites de integração serão de 0 a 2.

Passo 3

Determinar a função que representa a altura da região em cada ponto $ x $. A função superior é $ y = \sqrt{5} + x $ e a inferior é $ y = 0 $. Assim, a diferença entre elas nos dá a altura da região:
x

Passo 4

Montar a integral que representa a área. A área $ A $ é a integral da altura em relação a $ x $, de 0 a 2:
A

Passo 5

Calcular a integral. Vamos integrar cada termo separadamente:
integral (raiz5 + x) , dx = raiz5x + 12x^2 + C
Como estamos calculando uma área definida, não precisamos da constante de integração $ C $.

Passo 6

Avaliar a integral nos limites de 0 a 2:
A = [ raiz5x + 12x^2 ]0^2 = ( raiz5 cdot 2 + 12 cdot 4 ) - ( raiz5 cdot 0 + 12 cdot 0^2 ) = 2raiz5 + 2

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é $ 2\sqrt{5} + 2 $ unidades de área.

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