Calcule a área da região delimitada pelas seguintes curvas:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Queremos calcular a área da região delimitada pelas curvas $ y = \sqrt{5} + x $, $ y = 0 $ (que é o eixo x), $ x = 0 $ e $ x = 2 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais.
Passo 2
Identificar os limites de integração. As linhas verticais $ x = 0 $ e $ x = 2 $ nos dizem que vamos calcular a área entre esses valores de $ x $. Então, nossos limites de integração serão de 0 a 2.
Passo 3
Determinar a função que representa a altura da região em cada ponto $ x $. A função superior é $ y = \sqrt{5} + x $ e a inferior é $ y = 0 $. Assim, a diferença entre elas nos dá a altura da região:
Passo 4
Montar a integral que representa a área. A área $ A $ é a integral da altura em relação a $ x $, de 0 a 2:
Passo 5
Calcular a integral. Vamos integrar cada termo separadamente:
Como estamos calculando uma área definida, não precisamos da constante de integração $ C $.
Passo 6
Avaliar a integral nos limites de 0 a 2:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é $ 2\sqrt{5} + 2 $ unidades de área.