Determine se a integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral0^9 1raizx-1 d x

Passo 1

No exercício, a gente precisa decidir se a integral
integral0^9 1raizx-1 , dx
converge ou diverge. Isso é uma integral imprópria porque em x=1 o integrando fica infinito (e nem está definido para x<1). Vamos analisar o comportamento próximo a esse ponto e, se for convergente, calcular o valor.

Passo 2

Observando a função f(x)=1raizx-1, vemos que ela só faz sentido real para x>1 e tem singularidade em x=1. Para tratar isso, separamos a integral em duas partes:
integral0^9 1raizx-1 , dx = integral0^1 1raizx-1 , dx + integral1^9 1raizx-1 , dx
Na parte de 0 a 1 o integrando não está definido no conjunto dos reais (pois x-1<0), logo essa parte já diverge.

Passo 3

Mesmo que a primeira parte diverja, vale a pena ver a segunda para comparação. Tratamos
integral1^9 1raizx-1 , dx = limato1^+ integrala^9 (x-1)^-12 , dx
A primitiva de (x-1)^-1/2 é
2raizx-1,
polso
limato1^+ l[2raizx-1r]a^9 = 2raiz8 - 2raiza-1 xrightarrow[ato1^+] 4raiz2
Essa parte isolada é convergente.

Passo 4

Como a integral de 0 a 1 não está definida (ou diverge no sentido real), a integral original
integral0^9 1raizx-1 , dx
é divergente.

Resposta

Divergente.

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