Determine se a integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral
(0) ∫³ w/(w−2) dw é convergente ou divergente. O ponto w=2 está dentro do intervalo de integração, então temos uma integral imprópria. Para resolver, vamos precisar: encontrar a primitiva de w/(w−2), dividir a integral em duas ao redor de w=2 e testar os limites de cada parte.
(0) ∫³ w/(w−2) dw é convergente ou divergente. O ponto w=2 está dentro do intervalo de integração, então temos uma integral imprópria. Para resolver, vamos precisar: encontrar a primitiva de w/(w−2), dividir a integral em duas ao redor de w=2 e testar os limites de cada parte.
Passo 2
Fazendo divisão polinomial em
obtemos a primitiva
obtemos a primitiva
Passo 3
Vamos escrever a integral como soma de duas impróprias: definimos
Se qualquer uma delas divergir, a integral total diverge.
Passo 4
Para I_1, usamos a primitiva e obtemos
Como
quando
, temos
. Ou seja, diverge.
Passo 5
Como já encontramos divergência em I_1, não precisamos avaliar I_2. A integral imprópria total diverge.
Resposta
A integral é divergente.