Determine se a integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral0^3 ww-2 d w

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral
(0) ∫³ w/(w−2) dw é convergente ou divergente. O ponto w=2 está dentro do intervalo de integração, então temos uma integral imprópria. Para resolver, vamos precisar: encontrar a primitiva de w/(w−2), dividir a integral em duas ao redor de w=2 e testar os limites de cada parte.

Passo 2

Fazendo divisão polinomial em
ww-2 = 1 + 2w-2
obtemos a primitiva
w + 2 lnlvert w - 2rvert + C

Passo 3

Vamos escrever a integral como soma de duas impróprias: definimos
I1 = lima to 2^- integral0^a ww-2 ,dw,
I2 = limb to 2^+ integralb^3 ww-2 ,dw
Se qualquer uma delas divergir, a integral total diverge.

Passo 4

Para I_1, usamos a primitiva e obtemos
I1 = lima to 2^- l[ w + 2 ln|w-2| r]0^a = lima to 2^-l(a + 2ln(2-a) - (0 + 2ln2)r)
Como ln(2-a)to -infty quando ato2^-, temos I1 = -infty. Ou seja, diverge.

Passo 5

Como já encontramos divergência em I_1, não precisamos avaliar I_2. A integral imprópria total diverge.

Resposta

A integral é divergente.

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